[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-031

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-031
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #031 · Admitere ASE CSIE 2024

10 grile, din Integrala definită, Matrice, Asimptote, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Dacă $a = \ln 5$, $b = a + \ln 2$ și $T = \log_{20} 8$, atunci:

a) $T = \dfrac{3(b-a)}{2b-a}$
b) $T = \dfrac{3(b+a)}{2b-a}$
c) $T = \dfrac{3(b-a)}{2b+a}$
d) $T = \dfrac{3(b+a)}{2b+a}$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Răspuns corect: a) $T = \dfrac{3(b-a)}{2b-a}$

$T=\dfrac{\ln8}{\ln20}=\dfrac{3\ln2}{\ln2+\ln10}=\dfrac{3(b-a)}{2b-a}$, folosind $b-a=\ln2$ și $2b-a=\ln2+\ln10$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 11, problema 1

2. Dacă

$$M = \left\{ |x| \in \mathbb{N} \;\middle|\; C_{7-x}^{3-x} = 3A_{5-x}^{2} \right\}$$

atunci:

a) $M \subset (5, 10]$
b) $M \subset (2, 5]$
c) $M = \emptyset$
d) $M \subset [0, 2]$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: d) $M \subset [0, 2]$

Condițiile de existență impun $x\in\mathbb{Z}\cap(-\infty,3]$; ecuația se reduce la $x^2-13x-30=0$, cu soluția întreagă convenabilă $x=-2$, deci $M=\{2\}\subset[0,2]$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 11, problema 2

3. Se consideră matricea $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Atunci $A^n$, $n \in \mathbb{N}^*$ este:

a) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix} (-1)^n & 1-(-1)^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix} (-1)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: c) $\begin{pmatrix} (-1)^n & 1-(-1)^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Prin inducție (verificabilă și prin eliminarea variantelor pentru $n=1,2$), $A^n=\begin{pmatrix}(-1)^n & 1-(-1)^n\\0&1\end{pmatrix}$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 11, problema 3

4. Fie $A(\omega) = \begin{pmatrix} 1 & \omega & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$. Dacă $m \in \mathbb{R}$ este valoarea pentru care

$$A\!\left(\dfrac{m}{2}\right) A\!\left(\dfrac{m+1}{2}\right) = \dfrac{1}{2024}\Big(A(1) + A(2) + \ldots + A(2024)\Big),$$

atunci:

a) $m \in (500, 1012]$
b) $m \ge 2013$
c) $m \in (1012, 2012]$
d) $m \in (0, 500]$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Răspuns corect: a) $m \in (500, 1012]$

Din $A(\omega_1)A(\omega_2)=A(\omega_1+\omega_2)$ și $A(1)+\ldots+A(2024)=2024\,A\!\left(\dfrac{2025}{2}\right)$, ecuația devine $A\!\left(m+\tfrac12\right)=A\!\left(\tfrac{2025}{2}\right)$, deci $m=1012$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 11, problema 4

5. Dacă

$$l = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^p - \ln^p(x+1)}{qx^p} \quad \text{unde } p, q \in (0, \infty),$$

atunci $p^l + q^l$ este:

a) $5$
b) $2$
c) $0$
d) $1$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Răspuns corect: b) $2$

$l=\lim_{x\to0}\left[\dfrac1q-\dfrac1q\left(\dfrac{\ln(x+1)}{x}\right)^p\right]=\dfrac1q-\dfrac1q=0$, deci $p^l+q^l=p^0+q^0=2$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 11, problema 5