Dacă M = { |x| ∈ ℕ middle| C_7-x^3-x = 3A_5-x^2 } atunci:

D) M ⊂ [0, 2]. Condițiile de existență impun x∈ℤ∩(-∞,3]; ecuația se reduce la x^2-13x-30=0, cu soluția întreagă convenabilă x=-2, deci M={2}⊂[0,2].

niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Se consideră matricea A = -1 2; 0 1. Atunci A^n, n ∈ ℕ^* este:

niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Fie A(ω) = 1 ω 0; 0 1 0; 0 0 1 ∈ M_3(ℝ). Dacă m ∈ ℝ este valoarea pentru care A ((m)/(2)) A ((m+1)/(2)) = (1)/(2024)(A(1) + A(2) + … + A(2024)), atunci:

A) m ∈ (500, 1012]. Din A(ω_1)A(ω_2)=A(ω_1+ω_2) și A(1)+…+A(2024)=2024 A ((2025)/(2)), ecuația devine A (m+tfrac12)=A ((2025)/(2)), deci m=1012.

niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Dacă l = lim_x → 0 (x^p - ln^p(x+1))/(qx^p) unde p, q ∈ (0, ∞), atunci p^l + q^l este:

B) 2. l=lim_x→0[dfrac1q-dfrac1q((ln(x+1))/(x))^p]=dfrac1q-dfrac1q=0, deci p^l+q^l=p^0+q^0=2.

niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Grile Integrala definită · Matematică admitere ASE CSIE 2024

Dacă $a = \ln 5$ , $b = a + \ln 2$ și $T = \log_{20} 8$ , atunci:

$T = \dfrac{3(b-a)}{2b-a}$
$T = \dfrac{3(b+a)}{2b-a}$
$T = \dfrac{3(b-a)}{2b+a}$
$T = \dfrac{3(b+a)}{2b+a}$
niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

T=\dfrac{\ln8}{\ln20}=\dfrac{3\ln2}{\ln2+\ln10}=\dfrac{3(b-a)}{2b-a}

, folosind

b-a=\ln2

și

2b-a=\ln2+\ln10

.

Dacă $M = \left\{ |x| \in \mathbb{N} \;\middle|\; C_{7-x}^{3-x} = 3A_{5-x}^{2} \right\}$ atunci:

$M \subset (5, 10]$
$M \subset (2, 5]$
$M = \emptyset$
$M \subset [0, 2]$
niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Condițiile de existență impun

x\in\mathbb{Z}\cap(-\infty,3]

; ecuația se reduce la

x^2-13x-30=0

, cu soluția întreagă convenabilă

x=-2

, deci

M=\{2\}\subset[0,2]

.

Se consideră matricea $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Atunci $A^n$ , $n \in \mathbb{N}^*$ este:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} (-1)^n & 1-(-1)^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} (-1)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Prin inducție (verificabilă și prin eliminarea variantelor pentru

n=1,2

),

A^n=\begin{pmatrix}(-1)^n & 1-(-1)^n\\0&1\end{pmatrix}

Fie $A(\omega) = \begin{pmatrix} 1 & \omega & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$ Dacă $m \in \mathbb{R}$ este valoarea pentru care $A\!\left(\dfrac{m}{2}\right) A\!\left(\dfrac{m+1}{2}\right) = \dfrac{1}{2024}\Big(A(1) + A(2) + \ldots + A(2024)\Big),$ atunci:

$m \in (500, 1012]$
$m \ge 2013$
$m \in (1012, 2012]$
$m \in (0, 500]$
niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

Din

A(\omega_1)A(\omega_2)=A(\omega_1+\omega_2)

și

A(1)+\ldots+A(2024)=2024\,A\!\left(\dfrac{2025}{2}\right)

, ecuația devine

A\!\left(m+\tfrac12\right)=A\!\left(\tfrac{2025}{2}\right)

, deci

m=1012

.

Dacă $l = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^p - \ln^p(x+1)}{qx^p} \quad \text{unde } p, q \in (0, \infty),$ atunci $p^l + q^l$ este:

$5$
$2$
$0$
$1$
niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.

l=\lim_{x\to0}\left[\dfrac1q-\dfrac1q\left(\dfrac{\ln(x+1)}{x}\right)^p\right]=\dfrac1q-\dfrac1q=0

deci

p^l+q^l=p^0+q^0=2

.

Matematică #031 Admitere ASE CSIE 2024