[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-030

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-030
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #030 · Admitere ASE CSIE 2024

10 grile, din Determinanți, Matrice, Primitive, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Dacă $M$ este mulțimea valorilor funcției

$$f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \dfrac{2x}{x-1},$$

atunci:

a) $M \supseteq \mathbb{N}$
b) $M \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$
c) $M \cup \{1, 2\} = \mathbb{R}$
d) $M = \mathbb{R}$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: c) $M \cup \{1, 2\} = \mathbb{R}$

Din $f(x)=m$ rezultă $(m-2)x=m$, ecuație rezolvabilă pentru orice $m\neq2$, deci $M=\mathbb{R}\setminus\{2\}$; atunci $M\cup\{1,2\}=\mathbb{R}$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 10, problema 1

2. Fie $A=(a_{ij})_{i,j=\overline{1,3}}\in M_3(\mathbb{R})$ definită prin

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

și $c_{ij}$ complementul algebric al elementului $a_{ij}$ al matricei $A$. Dacă $T = \max\left\{\sum_{j=1}^{3} c_{ij}^{-1} \;\middle|\; i, j = 1, 2, 3\right\}$, atunci:

a) $T \in \left[\dfrac{-1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$
b) $T \in \left[\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right)$
c) $T \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$
d) $T \in \left(-\infty, \dfrac{-1}{2}\right)$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: c) $T \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$

Matricea cofactorilor este $C=\begin{pmatrix}-1&3&-4\\7&1&-5\\3&-2&3\end{pmatrix}$; suma reciprocelor pe fiecare linie dă maximul $T=\dfrac{35}{33}\in\left[\dfrac12,+\infty\right)$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 10, problema 2

3. Dacă

$$A = \begin{pmatrix} (2-a)x+8 & -8 \\ 3-a & x \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$$

este inversabilă pentru orice $x \in \mathbb{R}$ atunci:

a) $a \in (4, \infty)$
b) $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$
c) $a \in (1, 4)$
d) $a \in (-\infty, 1)$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: b) $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$

$\det A=(2-a)x^2+8x+8(3-a)$ trebuie să fie nenul pentru orice $x$, deci $\Delta<0$, adică $a^2-5a+4>0$, de unde $a\in(-\infty,1)\cup(4,\infty)$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 10, problema 3

4. Câte din următoarele afirmații:

afirmația $1$: $\forall A, B \in M_2(\mathbb{R}), \; AB = BA$;

afirmația $2$: $\exists U \in M_2(\mathbb{R}), \; \forall A \in M_2(\mathbb{R}), \; AU = UA = A$;

afirmația $3$: $\forall A \in M_2(\mathbb{R}), \; \exists B \in M_2(\mathbb{R}), \; AB = BA = U$, unde $U \in M_2(\mathbb{R})$ este matricea din afirmația $2$;

sunt adevărate:

a) nici o afirmație
b) trei afirmații
c) două afirmații
d) o afirmație
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: d) o afirmație

Produsul matricelor nu e comutativ (afirmația $1$ falsă); $I_2$ este element neutru (afirmația $2$ adevărată); matricea nulă nu are inversă (afirmația $3$ falsă) — o singură afirmație e adevărată.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 10, problema 4

5. Dacă $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ și $B = \displaystyle\sum_{k=1}^{2024} A^k$ atunci:

a) $B = \begin{pmatrix} 2024 & 0 \\ 0 & 2024 \end{pmatrix}$
b) $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{2024} \end{pmatrix}$
c) $B = \begin{pmatrix} 2024 & 0 \\ 0 & 2\left(2^{2024}-1\right) \end{pmatrix}$
d) $B = \begin{pmatrix} 2024 & 0 \\ 0 & 4048 \end{pmatrix}$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: c) $B = \begin{pmatrix} 2024 & 0 \\ 0 & 2\left(2^{2024}-1\right) \end{pmatrix}$

$A^k=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^k\end{pmatrix}$, deci $B=\begin{pmatrix}2024&0\\0&2^{2025}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2024&0\\0&2(2^{2024}-1)\end{pmatrix}$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 10, problema 5