[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-029

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-029
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #029 · Admitere ASE CSIE 2024

10 grile, din Primitive, Integrala definită, Determinanți, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Dacă $m$ este numărul de elemente al mulțimii $$M = \left\{n \in N \mid C_{n^2-6n+9}^{n^2-3} = 1\right\}$$ atunci:

a) $m = 0$
b) $m = 1$
c) $m = 2$
d) $m = 3$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: b) $m = 1$

Cu totalul $n^2-6n+9=(n-3)^2$ și ales $n^2-3$, condiția $C=1$ cere ca alesul să fie $0$ (fără soluție naturală) sau egal cu totalul, ceea ce dă unica soluție $n=2$; deci $M=\{2\}$ și $m=1$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 9, problema 1

2. Fie $n$ numărul de elemente al mulțimii $$M = \left\{x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \;\middle|\; |x-1| + \dfrac{(x-4)^2}{|x-1|} \le 2|x-4|\right\}$$ atunci:

a) $n = 1$
b) $n = 3$
c) $n = 4$
d) $n = 2$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: a) $n = 1$

Notând $a=|x-1|>0$, $b=|x-4|$, inegalitatea devine $a+\dfrac{b^2}{a}\le 2b$, adică $(a-b)^2\le 0$, deci $a=b$, adică $|x-1|=|x-4|$, cu unica soluție $x=2{,}5$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 9, problema 2

3. Dacă $$A = \left\{x \in \mathbb{R} \mid 3^{\sqrt{x^2-1}} + 4^{\sqrt{x^2-3x+2}} = 2\right\}$$ iar $S$ este suma pătratelor elementelor mulțimii $A$, atunci:

a) $S = 5$
b) $S = 4$
c) $S = 0$
d) $S = 1$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: d) $S = 1$

Cum $3^t\ge 1$ și $4^s\ge 1$ cu egalitate doar la exponent $0$, suma egală cu $2$ cere $x^2-1=0$ și $x^2-3x+2=0$ simultan, ceea ce dă $A=\{1\}$, deci $S=1$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 9, problema 3

4. Se consideră matricea $A=(a_{ij})_{i,j=\overline{1,3}} \in M_3(\mathbb{R})$ definită prin

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

și $T = \max\left\{\sum_{i=1}^3 m_{ij} \;\middle|\; j=1,2,3\right\}$, unde $m_{ij}$ este minorul asociat elementului $a_{ij}$ al matricei $A$, pentru $1 \le i,j \le 3$.

Atunci:

a) $T \in [57,+\infty)$
b) $T \in [-3,27]$
c) $T \in (-\infty,-3)$
d) $T \in (27,57)$
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: b) $T \in [-3,27]$

Calculând minorii pe fiecare coloană se obțin sumele $-2$ (coloana $1$), $0$ (coloana $2$) și $2$ (coloana $3$), deci $T=\max\{-2,0,2\}=2\in[-3,27]$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 9, problema 4

5. Câte din următoarele afirmații:

afirmația $1$: $\forall A,B,C \in M_2(\mathbb{R})$, $\det(ABC) = \det(A)\det(B)\det(C)$;

afirmația $2$: $\forall A,B,C \in M_2(\mathbb{R})$, $(ABC)^{-1} = A^{-1}B^{-1}C^{-1}$;

afirmația $3$: $\forall A,B,C \in M_2(\mathbb{R})$, $(ABC)^T = A^T B^T C^T$;

sunt adevărate? (Am notat cu $A^T$, respectiv $A^{-1}$, transpusa, respectiv inversa matricei $A$.)

a) o singură afirmație
b) două afirmații
c) nici o afirmație
d) trei afirmații
e) niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă

Răspuns corect: a) o singură afirmație

Doar afirmația $1$ este adevărată (multiplicativitatea determinantului); atât inversa cât și transpusa unui produs se calculează în ordine inversă, deci afirmațiile $2$ și $3$ sunt false.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 9, problema 5