Fie matricea A = 1 0 1; 0 1 0; 1 0 1. Atunci S = p - q pentru care A^3 = p · A^2 + q · A cu p, q ∈ ℝ este:

B) S = 5. Calculând A^2 = 2 0 2; 0 1 0; 2 0 2 și A^3= 4 0 4; 0 1 0; 4 0 4, din linia a doua p+q=1 și din prima linie 2p+q=4 rezultă p=3, q=-2, deci S=5.

Grile Funcția de gradul II · Matematică admitere ASE 2024 #028

Suma pătratelor rădăcinilor ecuației $(x+3)^3 - (x+1)^3 = 56$ este:

$18$
$3$
$26$
$19$
$24$

Notând

a=x+3

,

b=x+1

cu

a-b=2

, din

a^3-b^3=2(a^2+ab+b^2)=56

rezultă

3x^2+12x-15=0

, adică

x^2+4x-5=0

, cu rădăcinile

-5

și

1

, deci suma pătratelor este

26

.

Fie funcția de gradul al doilea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = ax^2 + bx + c$ astfel încât graficul acestei funcții să aibă vârful $V(1,2)$ și să intersecteze axa $Oy$ în punctul $A(0,-2)$ . Atunci $S = a + b - c$ este:

$S = -4$
$S = 10$
$S = -2$
$S = 6$
$S = 8$

Din forma cu vârf

f(x)=a(x-1)^2+2

și

f(0)=-2

rezultă

a=-4

, apoi

b=8

,

c=-2

, deci

S=-4+8-(-2)=6

.

Fie $A = \left\{x \in (0,\infty) \mid 2\log_3^2(5x) - 7\log_3(15x) + 7 = 0\right\}$ . Atunci:

$A \subset \left[\dfrac{1}{5}, 9\right]$
$A \subset \left(\dfrac{1}{2}, 10\right)$
$|A| = 1$
$A \subset \left[\dfrac{1}{6}, 10\right)$
$A \subset \left(\dfrac{1}{8}, 9\right)$

Cu

t = \log_3(5x)

și

\log_3(15x) = t+1

, ecuația devine

2t^2 - 7t = 0

, deci

t=0

sau

t=\dfrac72

, adică

x=\dfrac15

sau

x=\dfrac{27\sqrt3}{5}\approx 9{,}35

, ambele în

\left[\dfrac16,10\right)

.

Fie $a_1$ primul termen, $r$ rația a unei progresii aritmetice $(a_n)_{n\ge 1}$ cu proprietățile $a_2 - a_6 + a_4 = -7$ și $a_8 - a_7 - 2a_4 = 0$ . Atunci $S = a_1 + 3r$ este:

$S = 3$
$S = -1$
$S = 1$
$S = -5$
$S = 2$

Scriind termenii în funcție de

a_1,r

, prima relație dă

a_1 - r = -7

, iar a doua dă

2a_1 + 5r = 0

; rezolvând sistemul,

r=2

,

a_1=-5

, deci

S = a_1+3r = 1

.

Fie matricea $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Atunci $S = p - q$ pentru care $A^3 = p \cdot A^2 + q \cdot A$ cu $p, q \in \mathbb{R}$ este:

$S = 2$
$S = 5$
$S = 0$
$S = -1$
$S = 4$

Calculând

A^2 = \begin{pmatrix}2&0&2\\0&1&0\\2&0&2\end{pmatrix}

și

A^3=\begin{pmatrix}4&0&4\\0&1&0\\4&0&4\end{pmatrix}

din linia a doua

p+q=1

și din prima linie

2p+q=4

rezultă

p=3,\,q=-2

, deci

S=5

.

Matematică #028 Admitere ASE CSIE 2024