Ordinea crescătoare a numerelor lne, ln2, e, π, ln1 este:
- ln1, e, lne, π, ln2
- ln1, ln2, lne, e, π
- ln1, lne, ln2, π, e
- ln1, lne, ln2, e, π
- niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Din valorile aproximative ln1=0, ln2≈0,69, lne=1, e≈2,72, π≈3,14 rezultă ordinea crescătoare ln1,ln2,lne,e,π.Dacă 6x+5, 2x+5, 7−2x sunt primii trei termeni ai unei progresii geometrice de numere naturale atunci suma S100 a primilor 100 de termini este:
- S100=2101−2
- S100=2102+2
- S100=2102−2
- S100=2100−2
- niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Condiția de progresie geometrică (2x+5)2=(6x+5)(7−2x) dă x=−21, singura valoare care produce termeni naturali: 2,4,8, cu rația 2, deci S100=2(2100−1)=2101−2.Numărul numerelor naturale pare, de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, formate cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7} este:
- A74
- 14
- A73
- C73
- niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Cifra unităților trebuie aleasă din {2,4,6} (3 posibilități), iar cifra zecilor din {1,3,5,7} (4 posibilități), deci sunt 4⋅3=12 numere, valoare care nu apare printre variantele date.Fie ecuația 2[log3(4x−x2)+1]⋅8log3(4x−x2)=32. Dacă S este mulțimea soluțiilor reale ale ecuației date atunci:
- S=∅
- S={1,2,3,4}
- S={1,3}
- S={1,2,3}
- niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Ecuația devine 2t+1⋅23t=25 cu t=log3(4x−x2), deci 4t+1=5, t=1, adică 4x−x2=3, cu soluțiile x=1 și x=3, ambele în domeniul (0,4).Se consideră matricea A(x)=(1−xx1)∈M2(R). Dacă mg=det(A(x)A(y−1)) și ma=det(A(x))+det(A(y−1)) atunci care dintre afirmații este adevărată:
- există numere reale x, y astfel încât mg=ma=0
- mg≤0 pentru orice numere reale x, y
- 4⋅mg>(ma)2 pentru orice numere reale x, y
- 4⋅mg≤(ma)2 pentru orice numere reale x, y
- niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Cu u=detA(x)=1+x2≥1 și v=detA(y−1)=1+(y−1)2≥1, avem mg=uv și ma=u+v, iar (u+v)2≥4uv este inegalitatea mediilor, deci 4mg≤(ma)2 pentru orice x,y reale.