[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-025

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-025
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #025 · Admitere ASE CSIE 2024

10 grile, din Primitive, Progresii aritmetice, Integrala definită, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Se consideră $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ o progresie aritmetică de termeni strict pozitivi astfel încât $S_{26}=4S_{13}$, unde $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$. Dacă $T=\dfrac{2007a_1+a_{2006}}{a_{2508}}$, atunci:

a) $T=1$
b) $T=\dfrac{6}{5}$
c) $T=\dfrac{3}{2}$
d) $T=2007$
e) $T=\dfrac{7}{8}$

Răspuns corect: b) $T=\dfrac{6}{5}$

Din $S_{26}=4S_{13}$ rezultă $d=2a_1$, deci $a_n=a_1(2n-1)$, iar $T=\dfrac{2007a_1+4011a_1}{5015a_1}=\dfrac{6018}{5015}=\dfrac{6}{5}$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 5, problema 1

2. Dacă $$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid x^2+y^2-2xy=1,\ x+y+xy=5\}$$ și $S=\sum\limits_{(x,y)\in A}(x+y)$, atunci:

a) $S=6$
b) $S=-14$
c) $S=0$
d) $S=-4$
e) $S=-8$

Răspuns corect: e) $S=-8$

Notând $s=x+y$, $p=xy$, din cele două ecuații rezultă $s^2+4s-21=0$, cu soluțiile $s=3$ și $s=-7$, fiecare realizată de două perechi $(x,y)$, deci $S=2\cdot3+2\cdot(-7)=-8$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 5, problema 2

3. Valorile lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+a\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}=4$$ să aibă soluție unică sunt:

a) $a\in[1,\infty)$
b) $a=1$
c) $a\in\varnothing$
d) $a\in(-1,1)$
e) $a\in(-1,1]$

Răspuns corect: d) $a\in(-1,1)$

Cu substituția $t=\sqrt{x-1}\ge0$ ecuația devine $|t-2|+a(t+2)=4$; pentru $t<2$ se obține $t=-2$ (imposibil, cu excepția $a=1$ care dă infinite soluții), iar pentru $t\ge2$ soluția unică $t=\dfrac{6-2a}{1+a}$ este valabilă exact pentru $a\in(-1,1)$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 5, problema 3

4. Dacă $n$ este numărul de soluții ale ecuației $$x\log_2 x+\log_2^2 x=\frac{1}{\ln 4}\ln\frac{1}{x},$$ atunci:

a) $n=2$
b) $n=1$
c) $n=4$
d) $n=0$
e) $n=3$

Răspuns corect: a) $n=2$

Notând $y=\log_2 x$, ecuația devine $y\left(y+x+\tfrac12\right)=0$; ramura $y=0$ dă $x=1$, iar ramura $\log_2 x=-x-\tfrac12$ are exact o soluție, deoarece funcția $\log_2 x+x+\tfrac12$ este strict crescătoare, deci $n=2$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 5, problema 4

5. Fie matricele $$A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$$ Dacă $\Delta=\det\left(A^{2024}+B^{2024}\right)$, atunci:

a) $\Delta=1$
b) $\Delta=2^{1012}$
c) $\Delta=2^{4048}$
d) $\Delta=2^{2024}$
e) $\Delta=0$

Răspuns corect: c) $\Delta=2^{4048}$

Cum $A^2=2A$ și $B^2=2B$, rezultă $A^{2024}=2^{2023}A$, $B^{2024}=2^{2023}B$, iar suma este $2^{2024}I_2$, deci $\Delta=\left(2^{2024}\right)^2=2^{4048}$.

Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 5, problema 5