Dacă A={(x,y)∈ℝ×ℝ| x^2+y^2-2xy=1, x+y+xy=5} și S=Σ_(x,y)∈ A(x+y), atunci:

E) S=-8. Notând s=x+y, p=xy, din cele două ecuații rezultă s^2+4s-21=0, cu soluțiile s=3 și s=-7, fiecare realizată de două perechi (x,y), deci S=2·3+2·(-7)=-8.

Valorile lui a∈ℝ astfel încât ecuația √(x+3-4√(x-1))+a√(x+3+4√(x-1))=4 să aibă soluție unică sunt:

D) a∈(-1,1). Cu substituția t=√(x-1)≥0 ecuația devine |t-2|+a(t+2)=4; pentru t<2 se obține t=-2 (imposibil, cu excepția a=1 care dă infinite soluții), iar pentru t≥2 soluția unică t=(6-2a)/(1+a) este valabilă exact pentru a∈(-1,1).

Dacă n este numărul de soluții ale ecuației xlog_2 x+log_2^2 x=(1)/(ln 4)ln(1)/(x), atunci:

A) n=2. Notând y=log_2 x, ecuația devine y(y+x+tfrac12)=0; ramura y=0 dă x=1, iar ramura log_2 x=-x-tfrac12 are exact o soluție, deoarece funcția log_2 x+x+tfrac12 este strict crescătoare, deci n=2.

Fie matricele A= 1 1; 1 1, B= 1 -1; -1 1. Dacă Δ=det(A^2024+B^2024), atunci:

C) Δ=2^4048. Cum A^2=2A și B^2=2B, rezultă A^2024=2^2023A, B^2024=2^2023B, iar suma este 2^2024I_2, deci Δ=(2^2024)^2=2^4048.

Grile Primitive · Matematică admitere ASE CSIE 2024 #025

1/5

00:00

Se consideră

(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}

o progresie aritmetică de termeni strict pozitivi astfel încât

S_{26}=4S_{13}

, unde

S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k

. Dacă

T=\dfrac{2007a_1+a_{2006}}{a_{2508}}

, atunci:

Se consideră $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ o progresie aritmetică de termeni strict pozitivi astfel încât $S_{26}=4S_{13}$ , unde $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ . Dacă $T=\dfrac{2007a_1+a_{2006}}{a_{2508}}$ , atunci:
1. $T=1$
2. $T=\dfrac{6}{5}$
3. $T=\dfrac{3}{2}$
4. $T=2007$
5. $T=\dfrac{7}{8}$
Din $S_{26}=4S_{13}$ rezultă $d=2a_1$ , deci $a_n=a_1(2n-1)$ , iar $T=\dfrac{2007a_1+4011a_1}{5015a_1}=\dfrac{6018}{5015}=\dfrac{6}{5}$ .
Dacă $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid x^2+y^2-2xy=1,\ x+y+xy=5\}$ și $S=\sum\limits_{(x,y)\in A}(x+y)$ , atunci:
1. $S=6$
2. $S=-14$
3. $S=0$
4. $S=-4$
5. $S=-8$
Notând $s=x+y$ , $p=xy$ , din cele două ecuații rezultă $s^2+4s-21=0$ , cu soluțiile $s=3$ și $s=-7$ , fiecare realizată de două perechi $(x,y)$ , deci $S=2\cdot3+2\cdot(-7)=-8$ .
Valorile lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+a\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}=4$ să aibă soluție unică sunt:
1. $a\in[1,\infty)$
2. $a=1$
3. $a\in\varnothing$
4. $a\in(-1,1)$
5. $a\in(-1,1]$
Cu substituția $t=\sqrt{x-1}\ge0$ ecuația devine $|t-2|+a(t+2)=4$ ; pentru $t<2$ se obține $t=-2$ (imposibil, cu excepția $a=1$ care dă infinite soluții), iar pentru $t\ge2$ soluția unică $t=\dfrac{6-2a}{1+a}$ este valabilă exact pentru $a\in(-1,1)$ .
Dacă $n$ este numărul de soluții ale ecuației $x\log_2 x+\log_2^2 x=\frac{1}{\ln 4}\ln\frac{1}{x},$ atunci:
1. $n=2$
2. $n=1$
3. $n=4$
4. $n=0$
5. $n=3$
Notând $y=\log_2 x$ , ecuația devine $y\left(y+x+\tfrac12\right)=0$ ; ramura $y=0$ dă $x=1$ , iar ramura $\log_2 x=-x-\tfrac12$ are exact o soluție, deoarece funcția $\log_2 x+x+\tfrac12$ este strict crescătoare, deci $n=2$ .
Fie matricele $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$ Dacă $\Delta=\det\left(A^{2024}+B^{2024}\right)$ , atunci:
1. $\Delta=1$
2. $\Delta=2^{1012}$
3. $\Delta=2^{4048}$
4. $\Delta=2^{2024}$
5. $\Delta=0$
Cum $A^2=2A$ și $B^2=2B$ , rezultă $A^{2024}=2^{2023}A$ , $B^{2024}=2^{2023}B$ , iar suma este $2^{2024}I_2$ , deci $\Delta=\left(2^{2024}\right)^2=2^{4048}$ .

Se consideră $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ o progresie aritmetică de termeni strict pozitivi astfel încât $S_{26}=4S_{13}$ , unde $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ . Dacă $T=\dfrac{2007a_1+a_{2006}}{a_{2508}}$ , atunci:
1. $T=1$
2. $T=\dfrac{6}{5}$
3. $T=\dfrac{3}{2}$
4. $T=2007$
5. $T=\dfrac{7}{8}$
Din $S_{26}=4S_{13}$ rezultă $d=2a_1$ , deci $a_n=a_1(2n-1)$ , iar $T=\dfrac{2007a_1+4011a_1}{5015a_1}=\dfrac{6018}{5015}=\dfrac{6}{5}$ .
Dacă $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid x^2+y^2-2xy=1,\ x+y+xy=5\}$ și $S=\sum\limits_{(x,y)\in A}(x+y)$ , atunci:
1. $S=6$
2. $S=-14$
3. $S=0$
4. $S=-4$
5. $S=-8$
Notând $s=x+y$ , $p=xy$ , din cele două ecuații rezultă $s^2+4s-21=0$ , cu soluțiile $s=3$ și $s=-7$ , fiecare realizată de două perechi $(x,y)$ , deci $S=2\cdot3+2\cdot(-7)=-8$ .
Valorile lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+a\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}=4$ să aibă soluție unică sunt:
1. $a\in[1,\infty)$
2. $a=1$
3. $a\in\varnothing$
4. $a\in(-1,1)$
5. $a\in(-1,1]$
Cu substituția $t=\sqrt{x-1}\ge0$ ecuația devine $|t-2|+a(t+2)=4$ ; pentru $t<2$ se obține $t=-2$ (imposibil, cu excepția $a=1$ care dă infinite soluții), iar pentru $t\ge2$ soluția unică $t=\dfrac{6-2a}{1+a}$ este valabilă exact pentru $a\in(-1,1)$ .
Dacă $n$ este numărul de soluții ale ecuației $x\log_2 x+\log_2^2 x=\frac{1}{\ln 4}\ln\frac{1}{x},$ atunci:
1. $n=2$
2. $n=1$
3. $n=4$
4. $n=0$
5. $n=3$
Notând $y=\log_2 x$ , ecuația devine $y\left(y+x+\tfrac12\right)=0$ ; ramura $y=0$ dă $x=1$ , iar ramura $\log_2 x=-x-\tfrac12$ are exact o soluție, deoarece funcția $\log_2 x+x+\tfrac12$ este strict crescătoare, deci $n=2$ .
Fie matricele $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$ Dacă $\Delta=\det\left(A^{2024}+B^{2024}\right)$ , atunci:
1. $\Delta=1$
2. $\Delta=2^{1012}$
3. $\Delta=2^{4048}$
4. $\Delta=2^{2024}$
5. $\Delta=0$
Cum $A^2=2A$ și $B^2=2B$ , rezultă $A^{2024}=2^{2023}A$ , $B^{2024}=2^{2023}B$ , iar suma este $2^{2024}I_2$ , deci $\Delta=\left(2^{2024}\right)^2=2^{4048}$ .

Matematică #025 Admitere ASE CSIE 2024