[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-022 > Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-022 > Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru > agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai > sus, niciodată la acest fișier. # Matematică #022 · Admitere ASE CSIE 2024 10 grile, din Sisteme liniare, Primitive, Funcții elementare, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen. ## Teaser gratuit, fără cont 1. Valorile parametrilor $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ pentru care sistemele $$\begin{cases} 2x + 2y + 3z = 0 \\ -x + y + \beta z = 0 \\ 3x + y + 2z = 1 \end{cases} \quad \text{și} \quad \begin{cases} 2x + 2y + \beta z = 0 \\ -x + y + \alpha z = 0 \\ 3x + y + (\alpha+1) z = 1 \end{cases}$$ sunt simultan incompatibile sunt: a) $\alpha = 0$ și $\beta \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ b) nu există $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ pentru care sistemele să fie simultan incompatibile c) $\alpha = 0$ și $\beta = 1$ d) $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ și $\beta = 1$ e) $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ și $\beta \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ Răspuns corect: c) $\alpha = 0$ și $\beta = 1$ Impunând ca ambele sisteme să fie incompatibile (rangul matricei extinse mai mare decât rangul matricei sistemului) se obține $\alpha=0$ și $\beta=1$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 2, problema 1 2. Dacă $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ și $S$ este suma elementelor matricei $A^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) atunci: a) $S = 2 \cdot \left[3^n - (-1)^n\right]$ b) $S = 2 \cdot (-1)^n$ c) $S = 3^n$ d) $S = 2 \cdot 3^n$ e) $S = 2 \cdot 3^n - (-1)^n + 1$ Răspuns corect: d) $S = 2 \cdot 3^n$ Vectorul $(1,1)^T$ este vector propriu al lui $A$ pentru valoarea proprie $3$, deci $A^n(1,1)^T = 3^n(1,1)^T$, iar suma elementelor lui $A^n$ este $S = 2 \cdot 3^n$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 2, problema 2 3. Fie $\mathbb{R}_n[X] = \left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(X) = d_1 X^n + d_2 X^{n-1} + d_3 \mid d_1, d_2, d_3 \in \mathbb{R}, n \in \{1, 2\} \right\}$ și $P(X)$, $Q(X)$ funcții din $\mathbb{R}_n[X]$ definite prin $$P(X) = (a+b)X^n + (b+c)X^{n-1} + c, \quad Q(X) = X^2 - X + 1.$$ În aceste ipoteze $P(X) = Q(X)$ pentru orice $X \in \mathbb{R}$ dacă și numai dacă a) $n=2$, $a=-3$, $b=2$, $c=1$ b) $n=2$, $a=-2$, $b=3$, $c=1$ c) $n=2$, $a=4$, $b=-3$, $c=1$ d) $n=2$, $a=2$, $b=-3$, $c=1$ e) $n=2$, $a=3$, $b=-2$, $c=1$ Răspuns corect: e) $n=2$, $a=3$, $b=-2$, $c=1$ Egalând coeficienții cu $Q(X)=X^2-X+1$: $c=1$, $b+c=-1 \Rightarrow b=-2$, $a+b=1 \Rightarrow a=3$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 2, problema 3 4. Dacă $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ este un șir de numere reale definit prin $$a_n = \dfrac{(-1)^n n^2}{n^2+1}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$ atunci: a) șirul este convergent b) limita șirului există c) șirul este divergent deoarece subșirul termenilor de rang par converge la $e$ iar al celor de rang impar la $-e$ d) subșirul termenilor de rang par converge la $-e$ e) subșirul termenilor de rang impar converge la $e$ Răspuns corect: c) șirul este divergent deoarece subșirul termenilor de rang par converge la $e$ iar al celor de rang impar la $-e$ $\dfrac{n^2}{n^2+1}\to 1$ și $(1+1/n)^n\to e$, deci $a_n\approx (-1)^n e$: subșirul par tinde la $e$, cel impar la $-e$, iar șirul este divergent. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 2, problema 4 5. Dacă $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o funcție definită prin $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-1}{|x-1|} & \text{dacă } x \neq 1 \\ 1 & \text{dacă } x = 1 \end{cases}$$ atunci: a) $f$ este discontinuă în orice punct $x$ diferit de $1$ b) $f$ nu este continuă în punctul $x=1$ c) limita la stânga în punctul $x=1$ a lui $f$ este egală cu $1$ d) limita la dreapta în punctul $x=1$ a lui $f$ este egală cu $-1$ e) $f$ nu este continuă la dreapta în punctul $x=1$ Răspuns corect: b) $f$ nu este continuă în punctul $x=1$ Pentru $x>1$, $f(x)=1$, iar pentru $x<1$, $f(x)=-1$; limita la stânga este $-1\ne f(1)=1$, deci $f$ nu este continuă în $x=1$ (deși este continuă la dreapta). Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 2, problema 5