Valorile parametrilor α, β ∈ ℝ pentru care sistemele 2x + 2y + 3z = 0; -x + y + β z = 0; 3x + y + 2z = 1 și 2x + 2y + β z = 0; -x + y + α z = 0; 3x + y + (α+1) z = 1 sunt simultan incompatibile sunt:

C) α = 0 și β = 1. Impunând ca ambele sisteme să fie incompatibile (rangul matricei extinse mai mare decât rangul matricei sistemului) se obține α=0 și β=1.

nu există α, β ∈ ℝ pentru care sistemele să fie simultan incompatibile

α ∈ ℝ ∖ {0} și β ∈ ℝ ∖ {0}

Dacă A = 1 2; 2 1 și S este suma elementelor matricei A^n (n ∈ ℕ^*) atunci:

D) S = 2 · 3^n. Vectorul (1,1)^T este vector propriu al lui A pentru valoarea proprie 3, deci A^n(1,1)^T = 3^n(1,1)^T, iar suma elementelor lui A^n este S = 2 · 3^n.

Fie ℝ_n[X] = { f: ℝ → ℝ, f(X) = d_1 X^n + d_2 X^n-1 + d_3 | d_1, d_2, d_3 ∈ ℝ, n ∈ {1, 2} } și P(X), Q(X) funcții din ℝ_n[X] definite prin P(X) = (a+b)X^n + (b+c)X^n-1 + c, Q(X) = X^2 - X + 1. În aceste ipoteze P(X) = Q(X) pentru orice X ∈ ℝ dacă și numai dacă

E) n=2, a=3, b=-2, c=1. Egalând coeficienții cu Q(X)=X^2-X+1: c=1, b+c=-1 ⇒ b=-2, a+b=1 ⇒ a=3.

Dacă {a_n}_n∈ℕ este un șir de numere reale definit prin a_n = ((-1)^n n^2)/(n^2+1)(1+(1)/(n))^n atunci:

C) șirul este divergent deoarece subșirul termenilor de rang par converge la e iar al celor de rang impar la -e. (n^2)/(n^2+1)→ 1 și (1+1/n)^n→ e, deci a_n≈ (-1)^n e: subșirul par tinde la e, cel impar la -e, iar șirul este divergent.

subșirul termenilor de rang par converge la -e

subșirul termenilor de rang impar converge la e

Dacă f: ℝ → ℝ este o funcție definită prin f(x) = (x-1)/(|x-1|) dacă x ≠ 1; 1 dacă x = 1 atunci:

B) f nu este continuă în punctul x=1. Pentru x>1, f(x)=1, iar pentru x<1, f(x)=-1; limita la stânga este -1≠ f(1)=1, deci f nu este continuă în x=1 (deși este continuă la dreapta).

f este discontinuă în orice punct x diferit de 1

limita la stânga în punctul x=1 a lui f este egală cu 1

limita la dreapta în punctul x=1 a lui f este egală cu -1

f nu este continuă la dreapta în punctul x=1

Grile Sisteme liniare · Matematică admitere ASE CSIE 2024

1/5

00:00

Valorile parametrilor

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

pentru care sistemele

\begin{cases} 2x + 2y + 3z = 0 \\ -x + y + \beta z = 0 \\ 3x + y + 2z = 1 \end{cases} \quad \text{și} \quad \begin{cases} 2x + 2y + \beta z = 0 \\ -x + y + \alpha z = 0 \\ 3x + y + (\alpha+1) z = 1 \end{cases}

sunt simultan incompatibile sunt:

Matematică #022 Admitere ASE CSIE 2024