[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-021 > Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-ase-csie-2024-021 > Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru > agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai > sus, niciodată la acest fișier. # Matematică #021 · Admitere ASE CSIE 2024 10 grile, din Primitive, Derivate, Aplicații ale derivatelor, cu explicații. Transcrise din Admitere ASE CSIE 2024. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen. ## Teaser gratuit, fără cont 1. Valorile parametrilor $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ pentru care există $x, y, z \in \mathbb{R}$ nu toate nule astfel încât $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + y + \beta z = 0 \\ x + \alpha y + (\alpha+1) z = 0 \end{cases} \quad \text{și} \quad \begin{cases} 2x - y + 3z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \\ 3x + y + \beta z = 0 \end{cases}$$ sunt: a) $\beta = 2$ și $\alpha = 0$ b) $\beta = 0$ și $\alpha = 0$ c) $\beta \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ și $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ d) $\beta = 2$ și $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ e) $\beta \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ și $\alpha = 0$ Răspuns corect: a) $\beta = 2$ și $\alpha = 0$ Combinând ecuațiile celor două sisteme se obține $4\beta - 8 = 0$, deci $\beta = 2$, apoi $10\alpha = 0$, deci $\alpha = 0$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 1, problema 1 2. Dacă $$A = \begin{pmatrix} 2x_1x_2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & 1 \end{pmatrix}$$ unde $x_1, x_2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2 - 3x + 2 = 0$, atunci a) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{3}{5} \\ \dfrac{3}{5} & -\dfrac{2}{5} \end{pmatrix}$ b) $A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\ \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5} \end{pmatrix}$ c) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{x_1^2+x_2^2} & \dfrac{x_1+x_2}{x_1^2+x_2^2} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1^2+x_2^2} & -\dfrac{2x_1x_2}{x_1^2+x_2^2} \end{pmatrix}$ d) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\ \dfrac{2}{5} & -\dfrac{4}{5} \end{pmatrix}$ e) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\ \dfrac{2}{5} & -\dfrac{2}{5} \end{pmatrix}$ Răspuns corect: c) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{x_1^2+x_2^2} & \dfrac{x_1+x_2}{x_1^2+x_2^2} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1^2+x_2^2} & -\dfrac{2x_1x_2}{x_1^2+x_2^2} \end{pmatrix}$ Cu $x_1+x_2=3$ și $x_1x_2=2$ (relațiile lui Viète), $\det A = 2x_1x_2 - (x_1+x_2)^2 = -(x_1^2+x_2^2)$, iar inversa în formă simbolică este cea din variantă. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 1, problema 2 3. Dacă $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^*}$ este un șir de numere reale definit prin $$a_n = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k(-1)^k + n}{n+1}, \quad n \in \mathbb{N}^*$$ atunci: a) $\lim_{n\to\infty} a_n < 1$ b) $\nexists \lim_{n\to\infty} a_n$ c) $\lim_{n\to\infty} a_n = 1{,}5$ d) $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ e) $\lim_{n\to\infty} a_n > 2$ Răspuns corect: d) $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$ $\sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k = (1-1)^n = 0$ pentru $n\ge 1$, deci $a_n = \dfrac{n}{n+1} \to 1$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 1, problema 3 4. Dacă $\{S_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ este un șir de numere reale definit prin $$S_n = \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5^2} + \cdots + \dfrac{(-2)^{2n}}{5^{n+1}}, \quad n \in \mathbb{N}$$ atunci: a) $\lim_{n\to\infty} S_n = 2$ b) $\lim_{n\to\infty} S_n = 0$ c) $\lim_{n\to\infty} S_n = -1$ d) $\lim_{n\to\infty} S_n = 1$ e) $\lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{1}{9}$ Răspuns corect: d) $\lim_{n\to\infty} S_n = 1$ Termenii formează o progresie geometrică cu rația $4/5$: $S_n = 1-(4/5)^{n+1} \to 1$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 1, problema 4 5. Dacă $F, f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sunt funcții definite prin $$f(x) = e^{x^2}(x+1)^2, \quad g(x) = x^2, \quad F(x) = (f \circ g)(x)$$ atunci a) $F'(x) = 4xe^{x^4}(x^2-1)(x+x^2+1)(-x+x^2+1)$ b) $F'(x) = 2x\left[2x^2e^{x^4}(x^2+1)^2+2(x^2+1)e^{x^4}\right]$ c) $F'(x) = xe^{x^4}(x^2-1)(x+x^2+1)(-x+x^2+1)$ d) $F'(x) = 4xe^{x^4}(x^2+1)(x+x^2-1)(-x+x^2+1)$ e) $F'(x) = 4xe^{x^4}(x^2+1)(x+x^2+1)(-x+x^2-1)$ Răspuns corect: b) $F'(x) = 2x\left[2x^2e^{x^4}(x^2+1)^2+2(x^2+1)e^{x^4}\right]$ $F(x)=e^{x^4}(x^2+1)^2$; derivând prin regula produsului, $F'(x)=4xe^{x^4}(x^2+1)(x^2(x^2+1)+1)=2x\left[2x^2e^{x^4}(x^2+1)^2+2(x^2+1)e^{x^4}\right]$. Sursa: Admitere ASE CSIE, Modele de teste grilă (2024), Test-Grilă 1, problema 5