Fie fcolonmathbb R→mathbb R, f(x)=x^2-6x+m, m∈mathbb R. Atunci f(x)>0, (∀)x∈mathbb R pentru:

B) m>9. Coeficientul lui x^2 este pozitiv, deci f(x)>0 pentru orice x real exact când Δ 9. Pentru m=9 avem f(3)=0, deci m≥ 9 nu convine.

Se consideră progresia aritmetică (a_n)_n≥1 în care a_7+a_12+a_22+a_41=40. Atunci suma S_40 este:

A) 400. Cu a_n=a_1+(n-1)r: a_7+a_12+a_22+a_41=4a_1+(6+11+21+40)r=4a_1+78r=2(2a_1+39r)=40, deci 2a_1+39r=20. Atunci S_40=(40 (2a_1+39r))/(2)=20· 20=400. Valoarea 800 apare dacă se uită împărțirea la 2 din formula sumei.

Mulțimea soluțiilor inecuației log_frac12(x^2-3x+2)≥ 0 este:

C) [(3-sqrt5)/(2),1)∪(2,(3+sqrt5)/(2)]. Condiția de existență: x^2-3x+2>0, adică x∈(-∞,1)∪(2,+∞). Baza frac12<1, deci logaritmul este descrescător: log_frac12(x^2-3x+2)≥ 0=log_frac121 înseamnă x^2-3x+2≤ 1, adică x^2-3x+1≤ 0, x∈[(3-sqrt5)/(2),(3+sqrt5)/(2)]. Intersectând cu condiția de existență: [(3-sqrt5)/(2),1)∪(2,(3+sqrt5)/(2)]. Varianta fără excluderea lui [1,2] uită condiția de existență.

(-∞,(3-sqrt5)/(2)]∪[(3+sqrt5)/(2),+∞)

Suma soluțiilor ecuației 2^sin(x)+frac12+2^sin(x)+frac52=(5sqrt2)/(2) aflate în intervalul (-2π,2π) este:

D) π. Dăm factor comun 2^sin x·sqrt2: 2^sin xsqrt2 (1+4)=(5sqrt2)/(2), deci 2^sin x=dfrac12 și sin x=-1. În (-2π,2π) soluțiile sunt x=-(π)/(2) și x=(3π)/(2), cu suma π.

Grile Vectori în plan · Matematică Academia Forțelor Aeriene 2026

Fie $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2-6x+m$ , $m\in\mathbb R$ . Atunci $f(x)>0,\ (\forall)x\in\mathbb R$ pentru:

$m<9$
$m>9$
$m\ge 9$
$m\le 9$

Coeficientul lui

x^2

este pozitiv, deci

f(x)>0

pentru orice

x

real exact când

\Delta<0

:

\Delta=36-4m<0

, adică

m>9

. Pentru

m=9

avem

f(3)=0

, deci

m\ge 9

nu convine.

Fie vectorii $\vec u=2\vec i-3\vec j$ , $\vec v=3\vec i+\vec j$ și $\vec w=\vec i+4\vec j$ . Aflați numere reale $\alpha$ și $\beta$ dacă $\vec w=\alpha\cdot\vec u+\beta\cdot\vec v$

$\alpha=\beta=1$
$\alpha=\beta=-1$
$\alpha=1,\ \beta=2$
$\alpha=-1,\ \beta=1$

Identificăm coeficienții lui

\vec i

și

\vec j

:

2\alpha+3\beta=1

și

-3\alpha+\beta=4

. Din a doua,

\beta=4+3\alpha

; înlocuind,

2\alpha+12+9\alpha=1

, deci

\alpha=-1

și

\beta=1

. Verificare:

-\vec u+\vec v=(-2+3)\vec i+(3+1)\vec j=\vec i+4\vec j=\vec w

.

Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n\ge1}$ în care $a_7+a_{12}+a_{22}+a_{41}=40$ . Atunci suma $S_{40}$ este:

$400$
$120$
$315$
$800$

Cu

a_n=a_1+(n-1)r

:

a_7+a_{12}+a_{22}+a_{41}=4a_1+(6+11+21+40)r=4a_1+78r=2(2a_1+39r)=40

, deci

2a_1+39r=20

. Atunci

S_{40}=\dfrac{40\,(2a_1+39r)}{2}=20\cdot 20=400

. Valoarea

800

apare dacă se uită împărțirea la

2

din formula sumei.

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_{\frac12}\left(x^2-3x+2\right)\ge 0$ este:

$\left[\dfrac{3-\sqrt5}{2},\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right]$
$\left(-\infty,\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\dfrac{3+\sqrt5}{2},+\infty\right)$
$\left[\dfrac{3-\sqrt5}{2},1\right)\cup\left(2,\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right]$
$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

Condiția de existență:

x^2-3x+2>0

, adică

x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)

. Baza

\frac12<1

, deci logaritmul este descrescător:

\log_{\frac12}(x^2-3x+2)\ge 0=\log_{\frac12}1

înseamnă

x^2-3x+2\le 1

, adică

x^2-3x+1\le 0

,

x\in\left[\dfrac{3-\sqrt5}{2},\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right]

. Intersectând cu condiția de existență:

\left[\dfrac{3-\sqrt5}{2},1\right)\cup\left(2,\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right]

. Varianta fără excluderea lui

[1,2]

uită condiția de existență.

Suma soluțiilor ecuației $2^{\sin(x)+\frac12}+2^{\sin(x)+\frac52}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$ aflate în intervalul $(-2\pi,2\pi)$ este:

$-\dfrac{\pi}{2}$
$0$
$\dfrac{3\pi}{2}$
$\pi$

Dăm factor comun

2^{\sin x}\cdot\sqrt2

:

2^{\sin x}\sqrt2\,(1+4)=\dfrac{5\sqrt2}{2}

, deci

2^{\sin x}=\dfrac12

și

\sin x=-1

. În

(-2\pi,2\pi)

soluțiile sunt

x=-\dfrac{\pi}{2}

și

x=\dfrac{3\pi}{2}

, cu suma

\pi

.

Matematică #186 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2026