Dacă x∈(-dfracπ2,dfracπ2) și tgx=3, atunci expresia (3sin x+2cos x)/(2sin x+3cos x) este egală cu:

B) (11)/(9). Cum cos x≠0 pe acest interval, împărțim numărătorul și numitorul la cos x: dfrac3tgx+22tgx+3=(3·3+2)/(2·3+3)=(11)/(9).

În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(4,3), B(0,2) și C. Știind că punctul G(5,1) este centrul de greutate al triunghiului ABC, ecuația medianei din C este:

B) x+2y-7=0. Din x_G=(x_A+x_B+x_C)/(3) și y_G=(y_A+y_B+y_C)/(3) rezultă C(11,-2). Mijlocul lui [AB] este M(2,dfrac52), iar dreapta CM are panta (-2-frac52)/(11-2)=-dfrac12, deci y+2=-dfrac12(x-11), adică x+2y-7=0.

Suma coeficienților polinomului f∈mathbb C[X], unde f=(X+i)^2025+(X-i)^2025, i^2=-1, este:

C) 2^1013. Suma coeficienților este f(1)=(1+i)^2025+(1-i)^2025=2Re[(1+i)^2025]. Cum (1+i)^2025=2^(2025)/(2)(cos(2025π)/(4)+isin(2025π)/(4)) și 2025=8·253+1, partea reală este 2^(2025)/(2)·(sqrt2)/(2)=2^1012, deci f(1)=2·2^1012=2^1013.

Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A(x)= 1+x 0 -x; 0 1 0; 2x 0 1-2x. Valorile reale ale lui x, x≠1, pentru care matricea A(x) coincide cu inversa sa, sunt:

D) x∈{0,2}. Condiția A(x)=A(x)^-1 înseamnă A(x)^2=I_3. Linia și coloana mijlocii sunt (0,1,0), deci totul se reduce la blocul B(x)= 1+x -x; 2x 1-2x, cu trB=2-x, det B=1-x și B^2=(2-x)B-(1-x)I_2. Egalitatea B^2=I_2 revine la (2-x)(B-I_2)=0, deci x=2 sau B=I_2, adică x=0; deci x∈{0,2} (valoarea x=1 este exclusă din enunț: det A(1)=det B(1)=0, deci A(1) nu este inversabilă).

Grile Polinoame · Matematică Academia Forțelor Aeriene 2025

1/5

00:00

Fie vectorii

\vec u=2\vec i+(m-1)\vec j

și

\vec v=3\vec i-5\vec j

. Atunci valoarea reală a parametrului

m

, pentru care vectorii

\vec u

și

\vec v

sunt perpendiculari, este:

Fie vectorii $\vec u=2\vec i+(m-1)\vec j$ și $\vec v=3\vec i-5\vec j$ . Atunci valoarea reală a parametrului $m$ , pentru care vectorii $\vec u$ și $\vec v$ sunt perpendiculari, este:
1. $m=\dfrac{11}{5}$
2. $m=\dfrac{12}{5}$
3. $m=2$
4. $m=-\dfrac73$
Vectorii sunt perpendiculari când produsul lor scalar este nul: $\vec u\cdot\vec v=2\cdot3+(m-1)(-5)=11-5m=0$ , deci $m=\dfrac{11}{5}$ .
Dacă $x\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ și $\operatorname{tg}x=3$ , atunci expresia $\dfrac{3\sin x+2\cos x}{2\sin x+3\cos x}$ este egală cu:
1. $-\dfrac{11}{9}$
2. $\dfrac{11}{9}$
3. $-\dfrac73$
4. $\dfrac73$
Cum $\cos x\neq0$ pe acest interval, împărțim numărătorul și numitorul la $\cos x$ : $\dfrac{3\operatorname{tg}x+2}{2\operatorname{tg}x+3}=\dfrac{3\cdot3+2}{2\cdot3+3}=\dfrac{11}{9}$ .
În reperul cartezian $XOY$ se consideră punctele $A(4,3)$ , $B(0,2)$ și $C$ . Știind că punctul $G(5,1)$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ , ecuația medianei din $C$ este:
1. $x+y-6=0$
2. $x+2y-7=0$
3. $x+2y+7=0$
4. $3x-4y-11=0$
Din $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$ și $y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$ rezultă $C(11,-2)$ . Mijlocul lui $[AB]$ este $M\left(2,\dfrac52\right)$ , iar dreapta $CM$ are panta $\dfrac{-2-\frac52}{11-2}=-\dfrac12$ , deci $y+2=-\dfrac12(x-11)$ , adică $x+2y-7=0$ .
Suma coeficienților polinomului $f\in\mathbb C[X]$ , unde $f=(X+i)^{2025}+(X-i)^{2025}$ , $i^2=-1$ , este:
1. $2^{1015}$
2. $2^{1014}$
3. $2^{1013}$
4. $2^{1012}$
Suma coeficienților este $f(1)=(1+i)^{2025}+(1-i)^{2025}=2\operatorname{Re}\left[(1+i)^{2025}\right]$ . Cum $(1+i)^{2025}=2^{\frac{2025}{2}}\left(\cos\dfrac{2025\pi}{4}+i\sin\dfrac{2025\pi}{4}\right)$ și $2025=8\cdot253+1$ , partea reală este $2^{\frac{2025}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{1012}$ , deci $f(1)=2\cdot2^{1012}=2^{1013}$ .
Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix}1+x&0&-x\\0&1&0\\2x&0&1-2x\end{pmatrix}$ Valorile reale ale lui $x$ , $x\neq1$ , pentru care matricea $A(x)$ coincide cu inversa sa, sunt:
1. $x\in\{-2,0\}$
2. $x=0$
3. $x=2$
4. $x\in\{0,2\}$
Condiția $A(x)=A(x)^{-1}$ înseamnă $A(x)^2=I_3$ . Linia și coloana mijlocii sunt $(0,1,0)$ , deci totul se reduce la blocul $B(x)=\begin{pmatrix}1+x&-x\\2x&1-2x\end{pmatrix}$ cu $\operatorname{tr}B=2-x$ , $\det B=1-x$ și $B^2=(2-x)B-(1-x)I_2$ . Egalitatea $B^2=I_2$ revine la $(2-x)\left(B-I_2\right)=0$ , deci $x=2$ sau $B=I_2$ , adică $x=0$ ; deci $x\in\{0,2\}$ (valoarea $x=1$ este exclusă din enunț: $\det A(1)=\det B(1)=0$ , deci $A(1)$ nu este inversabilă).

Fie vectorii $\vec u=2\vec i+(m-1)\vec j$ și $\vec v=3\vec i-5\vec j$ . Atunci valoarea reală a parametrului $m$ , pentru care vectorii $\vec u$ și $\vec v$ sunt perpendiculari, este:
1. $m=\dfrac{11}{5}$
2. $m=\dfrac{12}{5}$
3. $m=2$
4. $m=-\dfrac73$
Vectorii sunt perpendiculari când produsul lor scalar este nul: $\vec u\cdot\vec v=2\cdot3+(m-1)(-5)=11-5m=0$ , deci $m=\dfrac{11}{5}$ .
Dacă $x\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ și $\operatorname{tg}x=3$ , atunci expresia $\dfrac{3\sin x+2\cos x}{2\sin x+3\cos x}$ este egală cu:
1. $-\dfrac{11}{9}$
2. $\dfrac{11}{9}$
3. $-\dfrac73$
4. $\dfrac73$
Cum $\cos x\neq0$ pe acest interval, împărțim numărătorul și numitorul la $\cos x$ : $\dfrac{3\operatorname{tg}x+2}{2\operatorname{tg}x+3}=\dfrac{3\cdot3+2}{2\cdot3+3}=\dfrac{11}{9}$ .
În reperul cartezian $XOY$ se consideră punctele $A(4,3)$ , $B(0,2)$ și $C$ . Știind că punctul $G(5,1)$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ , ecuația medianei din $C$ este:
1. $x+y-6=0$
2. $x+2y-7=0$
3. $x+2y+7=0$
4. $3x-4y-11=0$
Din $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$ și $y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$ rezultă $C(11,-2)$ . Mijlocul lui $[AB]$ este $M\left(2,\dfrac52\right)$ , iar dreapta $CM$ are panta $\dfrac{-2-\frac52}{11-2}=-\dfrac12$ , deci $y+2=-\dfrac12(x-11)$ , adică $x+2y-7=0$ .
Suma coeficienților polinomului $f\in\mathbb C[X]$ , unde $f=(X+i)^{2025}+(X-i)^{2025}$ , $i^2=-1$ , este:
1. $2^{1015}$
2. $2^{1014}$
3. $2^{1013}$
4. $2^{1012}$
Suma coeficienților este $f(1)=(1+i)^{2025}+(1-i)^{2025}=2\operatorname{Re}\left[(1+i)^{2025}\right]$ . Cum $(1+i)^{2025}=2^{\frac{2025}{2}}\left(\cos\dfrac{2025\pi}{4}+i\sin\dfrac{2025\pi}{4}\right)$ și $2025=8\cdot253+1$ , partea reală este $2^{\frac{2025}{2}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{1012}$ , deci $f(1)=2\cdot2^{1012}=2^{1013}$ .
Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix}1+x&0&-x\\0&1&0\\2x&0&1-2x\end{pmatrix}$ Valorile reale ale lui $x$ , $x\neq1$ , pentru care matricea $A(x)$ coincide cu inversa sa, sunt:
1. $x\in\{-2,0\}$
2. $x=0$
3. $x=2$
4. $x\in\{0,2\}$
Condiția $A(x)=A(x)^{-1}$ înseamnă $A(x)^2=I_3$ . Linia și coloana mijlocii sunt $(0,1,0)$ , deci totul se reduce la blocul $B(x)=\begin{pmatrix}1+x&-x\\2x&1-2x\end{pmatrix}$ cu $\operatorname{tr}B=2-x$ , $\det B=1-x$ și $B^2=(2-x)B-(1-x)I_2$ . Egalitatea $B^2=I_2$ revine la $(2-x)\left(B-I_2\right)=0$ , deci $x=2$ sau $B=I_2$ , adică $x=0$ ; deci $x\in\{0,2\}$ (valoarea $x=1$ este exclusă din enunț: $\det A(1)=\det B(1)=0$ , deci $A(1)$ nu este inversabilă).

Matematică #088 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2025