Într-o progresie aritmetică (a_n)_n≥1 avem a_10=100 și a_100=10. Să se calculeze a_1000.

A) -890. Rația este r=dfraca_100-a_10100-10=(-90)/(90)=-1. Atunci a_1000=a_100+900 r=10-900=-890.

Grile Funcția de gradul II · Academia Forțelor Aeriene 2024

Să se calculeze $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$ , unde $x_1$ , $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$ .

\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}

, iar din relațiile lui Viète

x_1+x_2=5

și

x_1x_2=3

, deci rezultatul este

\dfrac53

.

Dacă $\sin x=\dfrac35$ și $x\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$ , atunci $\sin2x$ este egal cu:

Pentru

x

în primul cadran,

\cos x=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45

, deci

\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}

.

Fie punctele în planul de coordonate $xOy$ : $A(3,0)$ , $B(0,4)$ și $C(1,2)$ . Să se scrie ecuația medianei din $B$ a triunghiului $ABC$ :

Mijlocul lui

[AC]

este

M(2,1)

. Dreapta

BM

are panta

\dfrac{1-4}{2-0}=-\dfrac32

, deci

y-4=-\dfrac32x

, adică

3x+2y-8=0

.

Într-o progresie aritmetică $(a_n)_{n\ge1}$ avem $a_{10}=100$ și $a_{100}=10$ . Să se calculeze $a_{1000}$ .

Rația este

r=\dfrac{a_{100}-a_{10}}{100-10}=\dfrac{-90}{90}=-1

. Atunci

a_{1000}=a_{100}+900\,r=10-900=-890

.

Să se calculeze numărul complex $z=\dfrac{(1+i)^{2024}}{(1-i)^{2024}}$ , unde $i^2=-1$ .

\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i

, deci

z=i^{2024}=\left(i^4\right)^{506}=1

.