[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2023

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2023
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2023 · Matematică #090

10 grile din Numere complexe, Funcția de gradul II, Identități trigonometrice, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2023. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2023)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se calculeze $x_1^2+x_2^2$, unde $x_1$, $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-6x+7=0$.

a) $1$
b) $22$
c) $2$
d) $5$

Răspuns corect: b) $22$

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=6$ și $x_1x_2=7$, deci $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-14=22$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2023, Varianta A, itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Fie expresia $E(x)=\operatorname{tg}x+\cos2x+\sin\dfrac x2$. Atunci valoarea $E\left(\dfrac\pi3\right)$ este egală cu:

a) $0$
b) $\sqrt2$
c) $\sqrt3$
d) $-1$

Răspuns corect: c) $\sqrt3$

$\operatorname{tg}\dfrac\pi3=\sqrt3$, $\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12$ și $\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$, deci $E\left(\dfrac\pi3\right)=\sqrt3-\dfrac12+\dfrac12=\sqrt3$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2023, Varianta A, itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Fie punctele în planul de coordonate $xOy$: $A(2,0)$, $B(0,5)$ și $C(3,7)$. Să se scrie ecuația înălțimii din $B$ a triunghiului $ABC$:

a) $x+2y-10=0$
b) $2x+y-5=0$
c) $x-7y-34=0$
d) $x+7y-35=0$

Răspuns corect: d) $x+7y-35=0$

Vectorul $\overrightarrow{AC}=(1,7)$ este normal la înălțimea din $B$, deci ecuația ei este $1\cdot(x-0)+7\,(y-5)=0$, adică $x+7y-35=0$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2023, Varianta A, itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Să se rezolve ecuația $1+5+9+\ldots+x=231$.

a) $x=61$
b) $x=53$
c) $x=37$
d) $x=41$

Răspuns corect: d) $x=41$

Termenii formează o progresie aritmetică cu primul termen $1$ și rația $4$. Dacă $x$ este al $n$-lea termen, suma este $\dfrac{n\,(2+4(n-1))}{2}=n(2n-1)=231$, deci $2n^2-n-231=0$ și $n=11$. Atunci $x=1+4\cdot10=41$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2023, Varianta A, itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Să se calculeze numărul complex $z=(1+i)^{2023}+(1-i)^{2023}$, unde $i^2=-1$.

a) $z=2^{1012}$
b) $z=-2^{1012}$
c) $z=2^{2023}$
d) $z=-2^{2023}$

Răspuns corect: a) $z=2^{1012}$

Numărul $1-i$ este conjugatul lui $1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$, deci suma este $2\operatorname{Re}\left[(1+i)^{2023}\right]=2\cdot2^{\frac{2023}{2}}\cos\dfrac{2023\pi}{4}$. Cum $2023=8\cdot252+7$, $\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2$ și $z=2\cdot2^{1011}\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=2^{1012}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2023, Varianta A, itemul 5 · cheie din baremul oficial