Fie expresia E(x)=tgx+cos2x+sindfrac x2. Atunci valoarea E(dfracπ3) este egală cu:

C) sqrt3. tgdfracπ3=sqrt3, cosdfrac2π3=-dfrac12 și sindfracπ6=dfrac12, deci E(dfracπ3)=sqrt3-dfrac12+dfrac12=sqrt3.

Grile Numere complexe · Matematică Academia Forțelor Aeriene 2023

Să se calculeze $x_1^2+x_2^2$ , unde $x_1$ , $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-6x+7=0$ .

Din relațiile lui Viète,

x_1+x_2=6

și

x_1x_2=7

, deci

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-14=22

.

Fie expresia $E(x)=\operatorname{tg}x+\cos2x+\sin\dfrac x2$ . Atunci valoarea $E\left(\dfrac\pi3\right)$ este egală cu:

\operatorname{tg}\dfrac\pi3=\sqrt3

,

\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12

și

\sin\dfrac\pi6=\dfrac12

, deci

E\left(\dfrac\pi3\right)=\sqrt3-\dfrac12+\dfrac12=\sqrt3

.

Fie punctele în planul de coordonate $xOy$ : $A(2,0)$ , $B(0,5)$ și $C(3,7)$ . Să se scrie ecuația înălțimii din $B$ a triunghiului $ABC$ :

Vectorul

\overrightarrow{AC}=(1,7)

este normal la înălțimea din

B

, deci ecuația ei este

1\cdot(x-0)+7\,(y-5)=0

, adică

x+7y-35=0

.

Să se rezolve ecuația $1+5+9+\ldots+x=231$ .

Termenii formează o progresie aritmetică cu primul termen

1

și rația

4

. Dacă

x

este al

n

-lea termen, suma este

\dfrac{n\,(2+4(n-1))}{2}=n(2n-1)=231

, deci

2n^2-n-231=0

și

n=11

. Atunci

x=1+4\cdot10=41

.

Să se calculeze numărul complex $z=(1+i)^{2023}+(1-i)^{2023}$ , unde $i^2=-1$ .

Numărul

1-i

este conjugatul lui

1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)

, deci suma este

2\operatorname{Re}\left[(1+i)^{2023}\right]=2\cdot2^{\frac{2023}{2}}\cos\dfrac{2023\pi}{4}

. Cum

2023=8\cdot252+7

,

\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2

și

z=2\cdot2^{1011}\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=2^{1012}

.