Să se calculeze expresia E=log_23-log_215+log_225-(1)/(log_52).

B) 0. log_23-log_215+log_225=log_2(3·25)/(15)=log_25, iar dfrac1log_52=log_25, deci E=0.

Dacă tgx+ctgx=2, atunci sin2x este egal cu:

C) 1. tgx+ctgx=(sin^2x+cos^2x)/(sin xcos x)=(2)/(sin2x). Din dfrac2sin2x=2 rezultă sin2x=1.

Să se calculeze ∫_1^2(1)/(x(x^6+1)) dx.

B) dfrac16ln(128)/(65). Scriem dfrac1x(x^6+1)=(x^5)/(x^6(x^6+1)) și notăm u=x^6, du=6x^5 dx. Integrala devine dfrac16∫_1^64(du)/(u(u+1))=dfrac16[ln(u)/(u+1)]_1^64=dfrac16(ln(64)/(65)+ln2)=dfrac16ln(128)/(65).

Să se calculeze lim_x→+∞(√(x^2+5x)-2√(x^2+2x)+√(x^2+x)).

A) 1. Scriem expresia ca (√(x^2+5x)-x)-2(√(x^2+2x)-x)+(√(x^2+x)-x). Fiecare paranteză √(x^2+kx)-x=(kx)/(√(x^2+kx)+x) tinde la dfrac k2, deci limita este dfrac52-2·1+dfrac12=1.

Grile Puteri, radicali, logaritmi

Să se calculeze expresia $E=\log_23-\log_215+\log_225-\dfrac{1}{\log_52}$ .

$1$
$0$
$2$
$5$

\log_23-\log_215+\log_225=\log_2\dfrac{3\cdot25}{15}=\log_25

, iar

\dfrac1{\log_52}=\log_25

, deci

E=0

.

Dacă $\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2$ , atunci $\sin2x$ este egal cu:

$0$
$\sqrt2$
$1$
$-1$

\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac{2}{\sin2x}

. Din

\dfrac2{\sin2x}=2

rezultă

\sin2x=1

.

Să se calculeze $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x\left(x^6+1\right)}\,dx$

$\ln\dfrac{128}{65}$
$\dfrac16\ln\dfrac{128}{65}$
$\dfrac13\ln\dfrac{128}{65}$
$1$

Scriem

\dfrac1{x(x^6+1)}=\dfrac{x^5}{x^6(x^6+1)}

și notăm

u=x^6

,

du=6x^5\,dx

. Integrala devine

\dfrac16\displaystyle\int_1^{64}\dfrac{du}{u(u+1)}=\dfrac16\Bigl[\ln\dfrac{u}{u+1}\Bigr]_1^{64}=\dfrac16\left(\ln\dfrac{64}{65}+\ln2\right)=\dfrac16\ln\dfrac{128}{65}

Să se calculeze $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+5x}-2\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+x}\right)$

$1$
$0$
$2$
$4$

Scriem expresia ca

\left(\sqrt{x^2+5x}-x\right)-2\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)+\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)

. Fiecare paranteză

\sqrt{x^2+kx}-x=\dfrac{kx}{\sqrt{x^2+kx}+x}

tinde la

\dfrac k2

, deci limita este

\dfrac52-2\cdot1+\dfrac12=1

.

Câte numere întregi verifică inecuația $x^2-8x+12<0$ ?

$4$
$5$
$2$
$3$

x^2-8x+12=(x-2)(x-6)<0

pentru

x\in(2,6)

, iar numerele întregi din acest interval sunt

3

,

4

și

5

, adică trei numere.

Matematică #091 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2022