[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2021

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2021
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2021 · Matematică #092

10 grile din Integrala definită, Limite de funcții, Distanțe și arii, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2021. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2021)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Dreapta $(\ell)$ are ecuația $y=6-2x$. O altă dreaptă $(d)$ este perpendiculară pe dreapta $(\ell)$ și trece prin punctul $A(-6,0)$. Determinați aria regiunii cuprinsă între cele două drepte și axa $Ox$.

a) $\dfrac{8}{5}$
b) $\dfrac{81}{5}$
c) $\dfrac{17}{5}$
d) $3$

Răspuns corect: b) $\dfrac{81}{5}$

Panta lui $(\ell)$ este $-2$, deci panta lui $(d)$ este $\dfrac12$ și $(d)\colon y=\dfrac{x+6}{2}$. Intersecția dreptelor: $6-2x=\dfrac{x+6}{2}$ dă $x=\dfrac65$ și $y=\dfrac{18}{5}$. Regiunea este triunghiul cu vârfurile $(-6,0)$, $(3,0)$ (unde $(\ell)$ taie axa $Ox$) și $\left(\dfrac65,\dfrac{18}{5}\right)$, deci aria este $\dfrac12\cdot9\cdot\dfrac{18}{5}=\dfrac{81}{5}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2021, Varianta A, itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Dacă $\sin x+\sin y=\dfrac{64}{65}$ și $\cos x+\cos y=\dfrac{112}{65}$, să se calculeze $\operatorname{tg}(x+y)$.

a) $\dfrac{56}{33}$
b) $\dfrac{18}{5}$
c) $2$
d) $6$

Răspuns corect: a) $\dfrac{56}{33}$

Cu formulele de transformare a sumei în produs, $\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ și $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$; raportul lor dă $\operatorname{tg}\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{64}{112}=\dfrac47$. Atunci $\operatorname{tg}(x+y)=\dfrac{2\cdot\frac47}{1-\frac{16}{49}}=\dfrac{56}{33}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2021, Varianta A, itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Să se calculeze $\displaystyle\int_{3}^{19}\sqrt{x+6-6\sqrt{x-3}}\,dx$.

a) $1$
b) $2$
c) $\dfrac{8}{3}$
d) $\dfrac{38}{3}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{38}{3}$

Cu $u=\sqrt{x-3}$ avem $x+6=u^2+9$, deci radicalul exterior este $\sqrt{(u-3)^2}=|u-3|$, iar $dx=2u\,du$ cu $u\in[0,4]$. Integrala devine $\displaystyle\int_0^4|u-3|\cdot2u\,du=\int_0^3(3-u)\,2u\,du+\int_3^4(u-3)\,2u\,du=9+\dfrac{11}{3}=\dfrac{38}{3}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2021, Varianta A, itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Să se calculeze $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1x\cdot\int_{x+1}^{2x+1}\sqrt{t^2+1}\,dt$.

a) $\sqrt3$
b) $0$
c) $\sqrt2$
d) $\sqrt5$

Răspuns corect: c) $\sqrt2$

Fie $F$ o primitivă a lui $f(t)=\sqrt{t^2+1}$. Integrala este $F(2x+1)-F(x+1)$, care se anulează în $x=0$, deci limita este de forma $\dfrac00$ și egală cu derivata în $0$: $\bigl[2F'(2x+1)-F'(x+1)\bigr]_{x=0}=2f(1)-f(1)=f(1)=\sqrt2$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2021, Varianta A, itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Determinați valoarea determinantului inversei matricei $A=\begin{pmatrix}1&4&5\\0&2&6\\0&0&3\end{pmatrix}$.

a) $\dfrac16$
b) $\dfrac12$
c) $\dfrac18$
d) $\dfrac19$

Răspuns corect: a) $\dfrac16$

Matricea $A$ este superior triunghiulară, deci $\det A=1\cdot2\cdot3=6$, iar $\det\left(A^{-1}\right)=\dfrac1{\det A}=\dfrac16$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene, Matematică, 2021, Varianta A, itemul 5 · cheie din baremul oficial