Dreapta (ℓ) are ecuația y=6-2x. O altă dreaptă (d) este perpendiculară pe dreapta (ℓ) și trece prin punctul A(-6,0). Determinați aria regiunii cuprinsă între cele două drepte și axa Ox.

B) (81)/(5). Panta lui (ℓ) este -2, deci panta lui (d) este dfrac12 și (d)colon y=(x+6)/(2). Intersecția dreptelor: 6-2x=(x+6)/(2) dă x=dfrac65 și y=(18)/(5). Regiunea este triunghiul cu vârfurile (-6,0), (3,0) (unde (ℓ) taie axa Ox) și (dfrac65,(18)/(5)), deci aria este dfrac12·9·(18)/(5)=(81)/(5).

Dacă sin x+sin y=(64)/(65) și cos x+cos y=(112)/(65), să se calculeze tg(x+y).

A) (56)/(33). Cu formulele de transformare a sumei în produs, sin x+sin y=2sin(x+y)/(2)cos(x-y)/(2) și cos x+cos y=2cos(x+y)/(2)cos(x-y)/(2); raportul lor dă tg(x+y)/(2)=(64)/(112)=dfrac47. Atunci tg(x+y)=(2·frac47)/(1-(16)/(49))=(56)/(33).

Să se calculeze ∫_3^19√(x+6-6√(x-3)) dx.

D) (38)/(3). Cu u=√(x-3) avem x+6=u^2+9, deci radicalul exterior este √((u-3)^2)=|u-3|, iar dx=2u du cu u∈[0,4]. Integrala devine ∫_0^4|u-3|·2u du=∫_0^3(3-u) 2u du+∫_3^4(u-3) 2u du=9+(11)/(3)=(38)/(3).

Să se calculeze lim_x→0dfrac1x·∫_x+1^2x+1√(t^2+1) dt.

C) sqrt2. Fie F o primitivă a lui f(t)=√(t^2+1). Integrala este F(2x+1)-F(x+1), care se anulează în x=0, deci limita este de forma dfrac00 și egală cu derivata în 0: [2F'(2x+1)-F'(x+1)]_x=0=2f(1)-f(1)=f(1)=sqrt2.

Determinați valoarea determinantului inversei matricei A= 1 4 5; 0 2 6; 0 0 3.

A) dfrac16. Matricea A este superior triunghiulară, deci det A=1·2·3=6, iar det(A^-1)=dfrac1det A=dfrac16.

Grile Integrala definită · Academia Forțelor Aeriene 2021

1/5

00:00

Dreapta

(\ell)

are ecuația

y=6-2x

. O altă dreaptă

(d)

este perpendiculară pe dreapta

(\ell)

și trece prin punctul

A(-6,0)

. Determinați aria regiunii cuprinsă între cele două drepte și axa

Ox

.

Dreapta $(\ell)$ are ecuația $y=6-2x$ . O altă dreaptă $(d)$ este perpendiculară pe dreapta $(\ell)$ și trece prin punctul $A(-6,0)$ . Determinați aria regiunii cuprinsă între cele două drepte și axa $Ox$ .
1. $\dfrac{8}{5}$
2. $\dfrac{81}{5}$
3. $\dfrac{17}{5}$
4. $3$
Panta lui $(\ell)$ este $-2$ , deci panta lui $(d)$ este $\dfrac12$ și $(d)\colon y=\dfrac{x+6}{2}$ . Intersecția dreptelor: $6-2x=\dfrac{x+6}{2}$ dă $x=\dfrac65$ și $y=\dfrac{18}{5}$ . Regiunea este triunghiul cu vârfurile $(-6,0)$ , $(3,0)$ (unde $(\ell)$ taie axa $Ox$ ) și $\left(\dfrac65,\dfrac{18}{5}\right)$ , deci aria este $\dfrac12\cdot9\cdot\dfrac{18}{5}=\dfrac{81}{5}$ .
Dacă $\sin x+\sin y=\dfrac{64}{65}$ și $\cos x+\cos y=\dfrac{112}{65}$ , să se calculeze $\operatorname{tg}(x+y)$ .
1. $\dfrac{56}{33}$
2. $\dfrac{18}{5}$
3. $2$
4. $6$
Cu formulele de transformare a sumei în produs, $\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ și $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ ; raportul lor dă $\operatorname{tg}\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{64}{112}=\dfrac47$ . Atunci $\operatorname{tg}(x+y)=\dfrac{2\cdot\frac47}{1-\frac{16}{49}}=\dfrac{56}{33}$ .
Să se calculeze $\displaystyle\int_{3}^{19}\sqrt{x+6-6\sqrt{x-3}}\,dx$
1. $1$
2. $2$
3. $\dfrac{8}{3}$
4. $\dfrac{38}{3}$
Cu $u=\sqrt{x-3}$ avem $x+6=u^2+9$ , deci radicalul exterior este $\sqrt{(u-3)^2}=|u-3|$ , iar $dx=2u\,du$ cu $u\in[0,4]$ . Integrala devine $\displaystyle\int_0^4|u-3|\cdot2u\,du=\int_0^3(3-u)\,2u\,du+\int_3^4(u-3)\,2u\,du=9+\dfrac{11}{3}=\dfrac{38}{3}$
Să se calculeze $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1x\cdot\int_{x+1}^{2x+1}\sqrt{t^2+1}\,dt$
1. $\sqrt3$
2. $0$
3. $\sqrt2$
4. $\sqrt5$
Fie $F$ o primitivă a lui $f(t)=\sqrt{t^2+1}$ . Integrala este $F(2x+1)-F(x+1)$ , care se anulează în $x=0$ , deci limita este de forma $\dfrac00$ și egală cu derivata în $0$ : $\bigl[2F'(2x+1)-F'(x+1)\bigr]_{x=0}=2f(1)-f(1)=f(1)=\sqrt2$ .
Determinați valoarea determinantului inversei matricei $A=\begin{pmatrix}1&4&5\\0&2&6\\0&0&3\end{pmatrix}$
1. $\dfrac16$
2. $\dfrac12$
3. $\dfrac18$
4. $\dfrac19$
Matricea $A$ este superior triunghiulară, deci $\det A=1\cdot2\cdot3=6$ , iar $\det\left(A^{-1}\right)=\dfrac1{\det A}=\dfrac16$ .

Dreapta $(\ell)$ are ecuația $y=6-2x$ . O altă dreaptă $(d)$ este perpendiculară pe dreapta $(\ell)$ și trece prin punctul $A(-6,0)$ . Determinați aria regiunii cuprinsă între cele două drepte și axa $Ox$ .
1. $\dfrac{8}{5}$
2. $\dfrac{81}{5}$
3. $\dfrac{17}{5}$
4. $3$
Panta lui $(\ell)$ este $-2$ , deci panta lui $(d)$ este $\dfrac12$ și $(d)\colon y=\dfrac{x+6}{2}$ . Intersecția dreptelor: $6-2x=\dfrac{x+6}{2}$ dă $x=\dfrac65$ și $y=\dfrac{18}{5}$ . Regiunea este triunghiul cu vârfurile $(-6,0)$ , $(3,0)$ (unde $(\ell)$ taie axa $Ox$ ) și $\left(\dfrac65,\dfrac{18}{5}\right)$ , deci aria este $\dfrac12\cdot9\cdot\dfrac{18}{5}=\dfrac{81}{5}$ .
Dacă $\sin x+\sin y=\dfrac{64}{65}$ și $\cos x+\cos y=\dfrac{112}{65}$ , să se calculeze $\operatorname{tg}(x+y)$ .
1. $\dfrac{56}{33}$
2. $\dfrac{18}{5}$
3. $2$
4. $6$
Cu formulele de transformare a sumei în produs, $\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ și $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ ; raportul lor dă $\operatorname{tg}\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{64}{112}=\dfrac47$ . Atunci $\operatorname{tg}(x+y)=\dfrac{2\cdot\frac47}{1-\frac{16}{49}}=\dfrac{56}{33}$ .
Să se calculeze $\displaystyle\int_{3}^{19}\sqrt{x+6-6\sqrt{x-3}}\,dx$
1. $1$
2. $2$
3. $\dfrac{8}{3}$
4. $\dfrac{38}{3}$
Cu $u=\sqrt{x-3}$ avem $x+6=u^2+9$ , deci radicalul exterior este $\sqrt{(u-3)^2}=|u-3|$ , iar $dx=2u\,du$ cu $u\in[0,4]$ . Integrala devine $\displaystyle\int_0^4|u-3|\cdot2u\,du=\int_0^3(3-u)\,2u\,du+\int_3^4(u-3)\,2u\,du=9+\dfrac{11}{3}=\dfrac{38}{3}$
Să se calculeze $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1x\cdot\int_{x+1}^{2x+1}\sqrt{t^2+1}\,dt$
1. $\sqrt3$
2. $0$
3. $\sqrt2$
4. $\sqrt5$
Fie $F$ o primitivă a lui $f(t)=\sqrt{t^2+1}$ . Integrala este $F(2x+1)-F(x+1)$ , care se anulează în $x=0$ , deci limita este de forma $\dfrac00$ și egală cu derivata în $0$ : $\bigl[2F'(2x+1)-F'(x+1)\bigr]_{x=0}=2f(1)-f(1)=f(1)=\sqrt2$ .
Determinați valoarea determinantului inversei matricei $A=\begin{pmatrix}1&4&5\\0&2&6\\0&0&3\end{pmatrix}$
1. $\dfrac16$
2. $\dfrac12$
3. $\dfrac18$
4. $\dfrac19$
Matricea $A$ este superior triunghiulară, deci $\det A=1\cdot2\cdot3=6$ , iar $\det\left(A^{-1}\right)=\dfrac1{\det A}=\dfrac16$ .

Matematică #092 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2021