[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2019

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2019
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2019 · Matematică #251

20 de grile din Volumul corpurilor de rotație, Progresii geometrice, Numere complexe, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2019. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 20 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2019)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $z=\dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)$, unde $i^2=-1$. Atunci $z\cdot\overline{z}$ este:

a) $2$
b) $\dfrac{1}{4}$
c) $\dfrac{1}{2}$
d) $3$
e) $4$

Răspuns corect: b) $\dfrac{1}{4}$

$z\cdot\overline{z}=|z|^2=\dfrac{1}{16}\left(3+1\right)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2019, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 1

2. Fie polinomul $P(x)=ax^3+x^2-bx-6$ cu $a,b\in\mathbb{R}$. Valorile lui $a$ și $b$ pentru care polinomul $P(x+1)+P'(x)$ este divizibil cu $x-1$ și $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{P(x)}{x(bx+1)(x-1)}=\dfrac{1}{3}$ sunt:

a) $a=3$, $b=2$
b) $a=-1$, $b=2$
c) $a=1$, $b=0$
d) $a=0$, $b=0$
e) nu există astfel de $a$ și $b$

Răspuns corect: e) nu există astfel de $a$ și $b$

Divizibilitatea cu $x-1$ înseamnă $P(2)+P'(1)=0$: $(8a+4-2b-6)+(3a+2-b)=0$, adică $11a=3b$.

Dacă $b\neq0$, numitorul are gradul $3$ și limita este $\dfrac{a}{b}=\dfrac13$, deci $b=3a$; atunci $11a=9a$, $a=0$ și $b=0$, contradicție. Dacă $b=0$, atunci $a=0$, $P(x)=x^2-6$ și limita devine $\lim\dfrac{x^2-6}{x(x-1)}=1\neq\dfrac13$. Nu există astfel de $a$ și $b$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2019, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 2

3. Fie $f:(0,1)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\left(\log_x 2\cdot\log_x 4\right)^{-1}+\left(\log_x 4\cdot\log_x 8\right)^{-1}+\ldots+\left(\log_x 2^n\cdot\log_x 2^{n+1}\right)^{-1}$.

Atunci $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ este:

a) $\dfrac{n+1}{n}$
b) $2$
c) $\dfrac{n}{n+1}$
d) $\dfrac{n+1}{2n}$
e) $\dfrac{2(n+1)}{n}$

Răspuns corect: c) $\dfrac{n}{n+1}$

Pentru $x=\dfrac12$: $\log_{1/2}2^k=-k$, deci $\log_{1/2}2^k\cdot\log_{1/2}2^{k+1}=k(k+1)$.

$f\left(\dfrac12\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2019, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 3

4. Sistemul de ecuații cu parametrul real $m$:

$\begin{cases}x+2y=1\\6x-8y=1\\5x+2y=m\end{cases}$

este compatibil numai dacă:

a) $m=1$
b) $m=0$
c) $m=3$
d) $m=2$
e) $m=4$

Răspuns corect: c) $m=3$

Din primele două ecuații: $x=1-2y$, $6-12y-8y=1$, deci $y=\dfrac14$ și $x=\dfrac12$.

Sistemul este compatibil numai dacă această soluție verifică și a treia ecuație: $m=5\cdot\dfrac12+2\cdot\dfrac14=3$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2019, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 4

5. Să se determine termenul independent de $a$ al dezvoltării $\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\sqrt[4]{a^3}\right)^{17}$:

a) $C_{17}^{8}$
b) $C_{17}^{6}$
c) $C_{17}^{7}$
d) $C_{17}^{10}$
e) $C_{17}^{11}$

Răspuns corect: a) $C_{17}^{8}$

$T_{k+1}=C_{17}^{k}\,a^{-\frac{2(17-k)}{3}}\,a^{\frac{3k}{4}}$. Exponentul este zero când $\dfrac{3k}{4}=\dfrac{2(17-k)}{3}$, adică $9k=136-8k$, $k=8$. Termenul independent este $T_9=C_{17}^{8}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2019, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 7