Fie z=(1)/(4)·(√(3)+i), unde i^2=-1. Atunci zcdotz este:

B) (1)/(4). zcdotz=|z|^2=(1)/(16)(3+1)=(4)/(16)=(1)/(4).

Fie f:(0,1)→ℝ, f(x)=(log_x 2·log_x 4)^-1+(log_x 4·log_x 8)^-1+…+(log_x 2^n·log_x 2^n+1)^-1. Atunci f((1)/(2)) este:

C) (n)/(n+1). Pentru x=dfrac12: log_1/22^k=-k, deci log_1/22^k·log_1/22^k+1=k(k+1). f(dfrac12)=Σ_k=1^n(1)/(k(k+1))=Σ_k=1^n(dfrac1k-dfrac1k+1)=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1).

Să se determine termenul independent de a al dezvoltării ((1)/((a^2)^(1/3))+(a^3)^(1/4))^17:

A) C_17^8. T_k+1=C_17^k a^-(2(17-k))/(3) a^(3k)/(4). Exponentul este zero când (3k)/(4)=(2(17-k))/(3), adică 9k=136-8k, k=8. Termenul independent este T_9=C_17^8.

Grile Volumul corpurilor de rotație

Fie $z=\dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)$ , unde $i^2=-1$ . Atunci $z\cdot\overline{z}$ este:

$2$
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{2}$
$3$
$4$

z\cdot\overline{z}=|z|^2=\dfrac{1}{16}\left(3+1\right)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}

.

Fie polinomul $P(x)=ax^3+x^2-bx-6$ cu $a,b\in\mathbb{R}$ . Valorile lui $a$ și $b$ pentru care polinomul $P(x+1)+P'(x)$ este divizibil cu $x-1$ și $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{P(x)}{x(bx+1)(x-1)}=\dfrac{1}{3}$ sunt:

$a=3$ , $b=2$
$a=-1$ , $b=2$
$a=1$ , $b=0$
$a=0$ , $b=0$
nu există astfel de $a$ și $b$

Divizibilitatea cu

x-1

înseamnă

P(2)+P'(1)=0

:

(8a+4-2b-6)+(3a+2-b)=0

, adică

11a=3b

.Dacă

b\neq0

, numitorul are gradul

3

și limita este

\dfrac{a}{b}=\dfrac13

, deci

b=3a

; atunci

11a=9a

,

a=0

și

b=0

, contradicție. Dacă

b=0

, atunci

a=0

,

P(x)=x^2-6

și limita devine

\lim\dfrac{x^2-6}{x(x-1)}=1\neq\dfrac13

Nu există astfel de

a

și

b

.

Fie $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\left(\log_x 2\cdot\log_x 4\right)^{-1}+\left(\log_x 4\cdot\log_x 8\right)^{-1}+\ldots+\left(\log_x 2^n\cdot\log_x 2^{n+1}\right)^{-1}$ .Atunci $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ este:

$\dfrac{n+1}{n}$
$2$
$\dfrac{n}{n+1}$
$\dfrac{n+1}{2n}$
$\dfrac{2(n+1)}{n}$

Pentru

x=\dfrac12

:

\log_{1/2}2^k=-k

, deci

\log_{1/2}2^k\cdot\log_{1/2}2^{k+1}=k(k+1)

.

f\left(\dfrac12\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}

Sistemul de ecuații cu parametrul real $m$ : $\begin{cases}x+2y=1\\6x-8y=1\\5x+2y=m\end{cases}$ este compatibil numai dacă:

$m=1$
$m=0$
$m=3$
$m=2$
$m=4$

Din primele două ecuații:

x=1-2y

,

6-12y-8y=1

, deci

y=\dfrac14

și

x=\dfrac12

.Sistemul este compatibil numai dacă această soluție verifică și a treia ecuație:

m=5\cdot\dfrac12+2\cdot\dfrac14=3

.

Să se determine termenul independent de $a$ al dezvoltării $\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2}}+\sqrt[4]{a^3}\right)^{17}$ :

$C_{17}^{8}$
$C_{17}^{6}$
$C_{17}^{7}$
$C_{17}^{10}$
$C_{17}^{11}$

T_{k+1}=C_{17}^{k}\,a^{-\frac{2(17-k)}{3}}\,a^{\frac{3k}{4}}

. Exponentul este zero când

\dfrac{3k}{4}=\dfrac{2(17-k)}{3}

, adică

9k=136-8k

,

k=8

. Termenul independent este

T_9=C_{17}^{8}

.

Matematică #251 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2019