[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2018

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2018
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2018 · Matematică #252

20 de grile din Numere complexe, Integrala definită, Funcții elementare, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2018. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 20 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2018)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Mulțimea soluțiilor ecuației $\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=14$ este

a) $\{-3,3\}$
b) $\{-1,1\}$
c) $\{-2,2\}$
d) $\varnothing$
e) $\left\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right\}$

Răspuns corect: c) $\{-2,2\}$

Cum $\left(2+\sqrt3\right)\left(2-\sqrt3\right)=1$, notăm $t=\left(2+\sqrt3\right)^x>0$: $t+\dfrac1t=14$, $t^2-14t+1=0$, $t=7\pm4\sqrt3=\left(2\pm\sqrt3\right)^2$.

Deci $x=2$ sau $x=-2$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2018, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 1

2. Fie $\vec{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}$ și $\vec{b}=\sqrt{3}\,\vec{i}-\vec{j}$. Notăm cu $\alpha=\angle\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ unghiul dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$, iar $x=\vec{a}\cdot\vec{b}$. Atunci:

a) $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$, $x=1$
b) $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$, $x=1$
c) $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$, $x=0$
d) $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$, $x=2$
e) $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$, $x=0$

Răspuns corect: a) $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$, $x=1$

$x=\vec a\cdot\vec b=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3-\dfrac12=1$. $|\vec a|=1$, $|\vec b|=2$, deci $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ și $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2018, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 2

3. Expresia $E=8\cdot\cos\dfrac{x}{2}\cdot\cos\dfrac{x}{4}\cdot\cos\dfrac{x}{8}$, este egală cu:

a) $E=\dfrac{\cos x}{\cos\frac{x}{8}}$
b) $E=\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{8}}$
c) $E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{2}}$
d) $E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{8}}$
e) $E=\dfrac{\cos x}{\cos\frac{x}{2}}$

Răspuns corect: d) $E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{8}}$

Înmulțim cu $\sin\dfrac{x}{8}$ și aplicăm de trei ori $2\sin t\cos t=\sin2t$:

$8\sin\dfrac x8\cos\dfrac x8\cos\dfrac x4\cos\dfrac x2=4\sin\dfrac x4\cos\dfrac x4\cos\dfrac x2=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=\sin x$, deci $E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac x8}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2018, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 3

4. Într-o progresie geometrică $(b_n)_{n\geq1}$ notăm $P_n=\prod\limits_{k=1}^{n}b_k$. Dacă $P_{40}=P_{60}$, atunci $P_{100}$ este:

a) $1$
b) $40$
c) $60$
d) $50$
e) $100$

Răspuns corect: a) $1$

Într-o progresie geometrică $b_kb_{101-k}=b_1b_{100}=c$ pentru orice $k$.

$P_{60}=P_{40}\cdot b_{41}b_{42}\cdots b_{60}$, deci $b_{41}\cdots b_{60}=1$; grupând $b_{41}b_{60},\ b_{42}b_{59},\ldots,b_{50}b_{51}$ obținem $c^{10}=1$, deci $c=\pm1$. Atunci $P_{100}=c^{50}=1$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2018, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 4

5. Să se calculeze $A=\lg\dfrac{1}{2}+\lg\dfrac{2}{3}+\lg\dfrac{3}{4}+\ldots+\lg\dfrac{99}{100}$.

a) $A=\sqrt{2}$
b) $A=-2$
c) $A=3$
d) $A=10$
e) $A=4$

Răspuns corect: b) $A=-2$

$A=\lg\left(\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{99}{100}\right)=\lg\dfrac{1}{100}=-2$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2018, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 5