Mulțimea soluțiilor ecuației (2+√(3))^x+(2-√(3))^x=14 este

C) {-2,2}. Cum (2+sqrt3)(2-sqrt3)=1, notăm t=(2+sqrt3)^x>0: t+dfrac1t=14, t^2-14t+1=0, t=7±4sqrt3=(2±sqrt3)^2. Deci x=2 sau x=-2.

Fie a=(√(3))/(2)i+(1)/(2)j și b=√(3) i-j. Notăm cu α=∠(a,b) unghiul dintre vectorii a și b, iar x=acdotb. Atunci:

A) α=(π)/(3), x=1. x=vec a·vec b=(sqrt3)/(2)·sqrt3-dfrac12=1. |vec a|=1, |vec b|=2, deci cosα=(1)/(2) și α=(π)/(3).

Într-o progresie geometrică (b_n)_n≥1 notăm P_n=∏_k=1^nb_k. Dacă P_40=P_60, atunci P_100 este:

A) 1. Într-o progresie geometrică b_kb_101-k=b_1b_100=c pentru orice k. P_60=P_40· b_41b_42… b_60, deci b_41… b_60=1; grupând b_41b_60, b_42b_59,…,b_50b_51 obținem c^10=1, deci c=±1. Atunci P_100=c^50=1.

Să se calculeze A=lg(1)/(2)+lg(2)/(3)+lg(3)/(4)+…+lg(99)/(100).

B) A=-2. A=lg(dfrac12·dfrac23…(99)/(100))=lg(1)/(100)=-2.

Grile Numere complexe · Matematică Academia Forțelor Aeriene 2018

Mulțimea soluțiilor ecuației $\left(2+\sqrt{3}\right)^x+\left(2-\sqrt{3}\right)^x=14$ este

$\{-3,3\}$
$\{-1,1\}$
$\{-2,2\}$
$\varnothing$
$\left\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right\}$

Cum

\left(2+\sqrt3\right)\left(2-\sqrt3\right)=1

, notăm

t=\left(2+\sqrt3\right)^x>0

:

t+\dfrac1t=14

,

t^2-14t+1=0

,

t=7\pm4\sqrt3=\left(2\pm\sqrt3\right)^2

.Deci

x=2

sau

x=-2

.

Fie $\vec{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}$ și $\vec{b}=\sqrt{3}\,\vec{i}-\vec{j}$ . Notăm cu $\alpha=\angle\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ unghiul dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ , iar $x=\vec{a}\cdot\vec{b}$ . Atunci:

$\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ , $x=1$
$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ , $x=1$
$\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ , $x=0$
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ , $x=2$
$\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$ , $x=0$

x=\vec a\cdot\vec b=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3-\dfrac12=1

.

|\vec a|=1

,

|\vec b|=2

, deci

\cos\alpha=\dfrac{1}{2}

și

\alpha=\dfrac{\pi}{3}

.

Expresia $E=8\cdot\cos\dfrac{x}{2}\cdot\cos\dfrac{x}{4}\cdot\cos\dfrac{x}{8}$ , este egală cu:

$E=\dfrac{\cos x}{\cos\frac{x}{8}}$
$E=\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{8}}$
$E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{2}}$
$E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac{x}{8}}$
$E=\dfrac{\cos x}{\cos\frac{x}{2}}$

Înmulțim cu

\sin\dfrac{x}{8}

și aplicăm de trei ori

2\sin t\cos t=\sin2t

:

8\sin\dfrac x8\cos\dfrac x8\cos\dfrac x4\cos\dfrac x2=4\sin\dfrac x4\cos\dfrac x4\cos\dfrac x2=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=\sin x

, deci

E=\dfrac{\sin x}{\sin\frac x8}

.

Într-o progresie geometrică $(b_n)_{n\geq1}$ notăm $P_n=\prod\limits_{k=1}^{n}b_k$ . Dacă $P_{40}=P_{60}$ , atunci $P_{100}$ este:

$1$
$40$
$60$
$50$
$100$

Într-o progresie geometrică

b_kb_{101-k}=b_1b_{100}=c

pentru orice

k

.

P_{60}=P_{40}\cdot b_{41}b_{42}\cdots b_{60}

, deci

b_{41}\cdots b_{60}=1

; grupând

b_{41}b_{60},\ b_{42}b_{59},\ldots,b_{50}b_{51}

obținem

c^{10}=1

, deci

c=\pm1

. Atunci

P_{100}=c^{50}=1

.

Să se calculeze $A=\lg\dfrac{1}{2}+\lg\dfrac{2}{3}+\lg\dfrac{3}{4}+\ldots+\lg\dfrac{99}{100}$ .

$A=\sqrt{2}$
$A=-2$
$A=3$
$A=10$
$A=4$

A=\lg\left(\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{99}{100}\right)=\lg\dfrac{1}{100}=-2

.

Matematică #252 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2018