[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2017

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2017
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2017 · Matematică #253

20 de grile din Progresii geometrice, Funcția de gradul II, Vectori în plan, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2017. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 20 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2017)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se calculeze suma $S_n=2+22+222+\ldots+\underbrace{222\ldots2}_{n}$.

a) $\dfrac{2\left(10^{n}-9n-10\right)}{81}$
b) $\dfrac{2\left(10^{n+1}-9n+10\right)}{81}$
c) $\dfrac{2\left(10^{n+1}-9n-10\right)}{81}$
d) $\dfrac{2\left(10^{n+1}-11\right)}{81}$
e) $\dfrac{2\left(10^{n+1}-9n-10\right)}{83}$

Răspuns corect: c) $\dfrac{2\left(10^{n+1}-9n-10\right)}{81}$

Termenul cu $k$ cifre este $\dfrac{2}{9}\left(10^k-1\right)$.

$S_n=\dfrac29\left(\sum\limits_{k=1}^{n}10^k-n\right)=\dfrac29\left(\dfrac{10^{n+1}-10}{9}-n\right)=\dfrac{2\left(10^{n+1}-9n-10\right)}{81}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2017, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta II A, itemul 1

2. Să se determine parametrii reali $a$ și $b$ pentru ca ecuația $x^3+ax^2+bx+18=0$ să admită rădăcina dublă $x=3$.

a) $a=1$, $b=-3$
b) $a=-4$, $b=2$
c) $a=-4$, $b=1$
d) $a=-4$, $b=-3$
e) $a=0$, $b=-3$

Răspuns corect: d) $a=-4$, $b=-3$

Rădăcina dublă $3$ anulează și polinomul, și derivata: $27+9a+3b+18=0$ și $27+6a+b=0$, adică $3a+b=-15$ și $6a+b=-27$. Rezultă $a=-4$, $b=-3$ (atunci $x^3-4x^2-3x+18=(x-3)^2(x+2)$).

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2017, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta II A, itemul 2

3. Să se determine $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuațiile $x^2+3x-2m=0$ și $x^2-5x+2m=0$ să admită o rădăcină comună.

a) $m\in\{0,3\}$
b) $m\in\{1,2\}$
c) $m\in\{-2,2\}$
d) $m\in\{0,2\}$
e) $m\in\{-3,2\}$

Răspuns corect: d) $m\in\{0,2\}$

Scăzând ecuațiile, rădăcina comună verifică $8x-4m=0$, deci $x=\dfrac m2$. Înlocuind: $\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{3m}{2}-2m=0$, adică $m(m-2)=0$, deci $m\in\{0,2\}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2017, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta II A, itemul 3

4. Să se calculeze $\cos(a-b)$ dacă $\sin a+\sin b=1$ și $\cos a+\cos b=\sqrt{2}$.

a) $\dfrac{1}{3}$
b) $\dfrac{1}{2}$
c) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
d) $\dfrac{1}{4}$
e) $\dfrac{1}{8}$

Răspuns corect: b) $\dfrac{1}{2}$

Ridicăm la pătrat și adunăm: $(\sin a+\sin b)^2+(\cos a+\cos b)^2=2+2(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=2+2\cos(a-b)$.

Deci $2+2\cos(a-b)=1+2=3$ și $\cos(a-b)=\dfrac12$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2017, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta II A, itemul 4

5. Să se determine $\alpha\in\mathbb{R}$ dacă vectorii $\vec{u}=(\alpha+2)\vec{i}+\alpha\vec{j}$ și $\vec{v}=\alpha\vec{i}-2\vec{j}$ sunt perpendiculari.

a) $\alpha=2$
b) $\alpha=0$
c) $\alpha=-1$
d) $\alpha=4$
e) $\alpha=5$

Răspuns corect: b) $\alpha=0$

$\vec u\cdot\vec v=(\alpha+2)\alpha-2\alpha=\alpha^2=0$, deci $\alpha=0$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2017, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta II A, itemul 5