Valoarea parametrului m∈R pentru care ecuația mx2−2mx+m+2=0 admite rădăcini reale distincte, este:
- m=2
- m∈{1;4}
- m∈(−1;+∞)
- m∈(−∞;0)
- m=5
Pentru m=0 ecuația devine 2=0, fără soluții. Pentru m=0 trebuie Δ=4m2−4m(m+2)=−8m>0, adică m<0.Progresia aritmetică (an)n≥1 de rație r este caracterizată de relațiile: a2−a6+a4=−7 și a8−a7=2a4. Atunci a1 și r sunt:
- a1=3, r=2
- a1=4, r=1
- a1=2, r=5
- a1=−5, r=2
- a1=−2, r=2
a2−a6+a4=(a1+r)−(a1+5r)+(a1+3r)=a1−r=−7, iar a8−a7=r=2(a1+3r), deci 2a1=−5r.Din a1=r−7: 2r−14=−5r, r=2, a1=−5.Parametrul m∈R pentru care ecuațiile 2x2−(3m+2)x+12=0 și 4x2−(9m−2)x+36=0 au o rădăcină comună, este:
- m=3
- m=2
- m=1
- m=0
- m=−3
Înmulțim prima ecuație cu 2 și o scădem din a doua: (6−3m)x+12=0. Pentru m=2 ar rezulta 12=0, deci m=2 și x=m−24.Înlocuind în prima ecuație și înmulțind cu (m−2)2: 32−4(3m+2)(m−2)+12(m−2)2=96−32m=0, deci m=3 (rădăcina comună x=4).Dacă sinα=53 și 0<α<2π, atunci valoarea expresiei ctgα−tgαctgα+tgα este:
- 723
- 71
- 1725
- 325
- 725
În cadranul I, cosα=54, deci tgα=43 și ctgα=34.34−4334+43=7/1225/12=725.Produsul soluțiilor ecuației 27x−13⋅9x+13⋅3x+1−27=0 este:
- 3
- 1
- 7
- 4
- 0
Cu t=3x>0: t3−13t2+39t−27=0, adică (t−1)(t−3)(t−9)=0.Deci x∈{0,1,2}, iar produsul soluțiilor este 0.