[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2015

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-academia-fortelor-aeriene-2015
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Academia Forțelor Aeriene 2015 · Matematică #255

20 de grile din Integrala definită, Funcția de gradul II, Drepte în plan, cu explicații. Transcrise din Admitere Academia Forțelor Aeriene 2015. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 20 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Academia Forțelor Aeriene 2015)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie ecuația $x^2+mx+m+1=0$, $m\in\mathbb{R}$. Mulțimea valorilor lui $m$ pentru care ecuația are rădăcini reale $x_1,x_2$ cu $x_1<1<x_2$, este:

a) $m\in(-\infty;-1)$
b) $m\in\{1;2\}$
c) $m\in(1;+\infty)$
d) $m=2$
e) $m=0$

Răspuns corect: a) $m\in(-\infty;-1)$

Pentru $f(x)=x^2+mx+m+1$ (coeficient dominant pozitiv), numărul $1$ se află strict între rădăcini exact când $f(1)<0$: $1+m+m+1=2m+2<0$, adică $m<-1$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2015, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 1

2. Fie sistemul

$\begin{cases}x+y=a+1\\x^2+2ay-2a^2+a-2=0\end{cases}$.

Să se determine $a\in\mathbb{R}$ astfel încât sistemul să admită soluție unică.

a) $a\in[0;1]$
b) $a\in\{1;2\}$
c) $a\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$
d) $a\in\varnothing$
e) $a\in[1;2]$

Răspuns corect: b) $a\in\{1;2\}$

Înlocuim $y=a+1-x$: $x^2-2ax+2a^2+2a-2a^2+a-2=0$, adică $x^2-2ax+3a-2=0$.

Sistemul are soluție unică exact când această ecuație are o rădăcină dublă: $\dfrac{\Delta}{4}=a^2-3a+2=0$, deci $a\in\{1,2\}$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2015, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 2

3. Se consideră punctele $A(x;1)$, $B(-1;y)$ și $C(1;3)$. Să se determine $x$ și $y$ în cazul în care $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BC}$.

a) $x=-7$, $y=\dfrac{3}{2}$
b) $x=2$, $y=\dfrac{3}{2}$
c) $x=1$, $y=1$
d) $x=3$, $y=4$
e) $x=-7$, $y=\dfrac{5}{2}$

Răspuns corect: e) $x=-7$, $y=\dfrac{5}{2}$

$\overrightarrow{AB}=(-1-x,\ y-1)$, $\overrightarrow{BC}=(2,\ 3-y)$. Egalitatea pe componente: $-1-x=6$, deci $x=-7$; $y-1=9-3y$, deci $y=\dfrac52$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2015, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 3

4. Calculați $\operatorname{tg}\alpha$ dacă $\sin^2\alpha-2\cos^2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha$, unde $\alpha\in[5;6]$.

a) $\operatorname{tg}\alpha=1$
b) $\operatorname{tg}\alpha=2$
c) $\operatorname{tg}\alpha\in\{-1;2\}$
d) $\operatorname{tg}\alpha=-1$
e) $\operatorname{tg}\alpha=-2$

Răspuns corect: d) $\operatorname{tg}\alpha=-1$

$\cos\alpha=0$ ar da $\sin^2\alpha=0$, imposibil, deci împărțim la $\cos^2\alpha$: $\operatorname{tg}^2\alpha-\operatorname{tg}\alpha-2=0$, cu soluțiile $2$ și $-1$.

Intervalul $[5;6]$ (în radiani) este inclus în $\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\approx(4{,}71;\ 6{,}28)$, cadranul IV, unde tangenta este negativă. Deci $\operatorname{tg}\alpha=-1$ ($\alpha=\dfrac{7\pi}{4}\approx5{,}50$).

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2015, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 4

5. Progresia aritmetică $(a_n)_{n\geq1}$ este caracterizată de faptul că $S_m=S_n$, $m\neq n$. Atunci $S_{m+n}$ este:

a) $7$
b) $1$
c) $0$
d) $4$
e) $3$

Răspuns corect: c) $0$

$S_k=a_1k+\dfrac{k(k-1)}{2}r$. Din $S_m=S_n$: $a_1(m-n)+\dfrac{r}{2}(m-n)(m+n-1)=0$ și, cum $m\neq n$, $a_1+\dfrac{r}{2}(m+n-1)=0$.

Atunci $S_{m+n}=(m+n)\left(a_1+\dfrac{(m+n-1)r}{2}\right)=0$.

Subiect oficial · Admitere Academia Forțelor Aeriene „Henri Coandă” Brașov 2015, lucrare scrisă la matematică (test grilă), varianta I A, itemul 5