Se consideră ecuația irațională √((x+9)/(x))+√((x)/(x+9))=2,05. Suma rădăcinilor ecuației este:

B) -9. Cu t=√((x+9)/(x))>0: t+dfrac1t=(41)/(20), deci t=dfrac54 sau t=dfrac45. (x+9)/(x)=(25)/(16) dă x=16, iar (x+9)/(x)=(16)/(25) dă x=-25 (ambele în domeniu). Suma este -9.

Suma rădăcinilor ecuației (√(2-√(3)))^x+(√(2+√(3)))^x=4 este:

C) 0. Produsul bazelor este 1; cu t=(√(2+sqrt3))^x>0: t+dfrac1t=4, deci t=2±sqrt3=(√(2+sqrt3))^±2. Rădăcinile sunt 2 și -2, cu suma 0.

Mulțimea soluțiilor inecuației ((2)/(3))^log_0,3((2x+1)/(2x-3))<1 este:

C) x∈(-∞,-(1)/(2)). Baza dfrac23 0 cu u=(2x+1)/(2x-3), adică 0 0: x dfrac32. u<1: (4)/(2x-3)<0, adică x<dfrac32. Rămâne x∈(-∞,-dfrac12).

x∈(-∞,-(1)/(2))∪((3)/(2),+∞)

Valoarea expresiei E(a,b)=(log_ab+log_ba+2)(log_ab-log_abb)log_ba-1 este:

E) log_ab. Cu t=log_ab: log_ba=dfrac1t și log_abb=(t)/(1+t). (t+dfrac1t+2)(t-(t)/(1+t))dfrac1t=((t+1)^2)/(t)·(t^2)/(1+t)·dfrac1t=t+1, deci E=t=log_ab.

Grile Puteri, radicali, logaritmi

Se consideră ecuația irațională $\sqrt{\dfrac{x+9}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+9}}=2{,}05$ . Suma rădăcinilor ecuației este:

$16$
$-9$
$-25$
$3$
$17$

Cu

t=\sqrt{\dfrac{x+9}{x}}>0

:

t+\dfrac1t=\dfrac{41}{20}

, deci

t=\dfrac54

sau

t=\dfrac45

.

\dfrac{x+9}{x}=\dfrac{25}{16}

dă

x=16

, iar

\dfrac{x+9}{x}=\dfrac{16}{25}

dă

x=-25

(ambele în domeniu). Suma este

-9

.

Suma rădăcinilor ecuației $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x+\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^x=4$ este:

$3$
$4$
$0$
$7$
$6$

Produsul bazelor este

1

; cu

t=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x>0

:

t+\dfrac1t=4

, deci

t=2\pm\sqrt3=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{\pm2}

.Rădăcinile sunt

2

și

-2

, cu suma

0

.

Mulțimea soluțiilor inecuației $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\log_{0{,}3}\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)}<1$ este:

$x\in\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
$x\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
$x\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$
$x\in\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$
$x\in\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)$

Baza

\dfrac23<1

, deci inegalitatea cere exponentul pozitiv:

\log_{0{,}3}u>0

cu

u=\dfrac{2x+1}{2x-3}

, adică

0<u<1

.

u>0

:

x<-\dfrac12

sau

x>\dfrac32

.

u<1

:

\dfrac{4}{2x-3}<0

, adică

x<\dfrac32

. Rămâne

x\in\left(-\infty,-\dfrac12\right)

.

Valoarea expresiei $E(a,b)=\left(\log_ab+\log_ba+2\right)\left(\log_ab-\log_{ab}b\right)\log_ba-1$ este:

$b$
$\log_ba$
$1$
$a$
$\log_ab$

Cu

t=\log_ab

:

\log_ba=\dfrac1t

și

\log_{ab}b=\dfrac{t}{1+t}

.

\left(t+\dfrac1t+2\right)\left(t-\dfrac{t}{1+t}\right)\dfrac1t=\dfrac{(t+1)^2}{t}\cdot\dfrac{t^2}{1+t}\cdot\dfrac1t=t+1

, deci

E=t=\log_ab

.

Punctul $A(3,1)$ este vârful unui pătrat căruia îi cunoaștem ecuația unei diagonale, $y-x=0$ . Aria pătratului este:

$8\sqrt{2}$
$4\sqrt{2}$
$8$
$4$
$2\sqrt{2}$

A

nu se află pe dreapta

y=x

, deci aceasta este cealaltă diagonală, iar distanța de la

A

la ea este jumătate din diagonală:

\dfrac{|1-3|}{\sqrt2}=\sqrt2

.Diagonala are lungimea

2\sqrt2

, iar aria este

\dfrac{d^2}{2}=\dfrac82=4

.

Matematică #259 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2011