Mulțimea valorilor m∈ℝ astfel încât ecuația: 2lg^2(x^3)-3mlg x+1=0 admite soluții reale, este:

m∈(-∞;-(2√(6))/(3))∪((2√(6))/(3);∞)

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației: lg2+lg(4^x-2+9)≤1+lg(2^x-2+1), este:

B) x∈[2;4]. Inecuația este lg[2(4^x-2+9)]≤lg[10(2^x-2+1)], adică (cu t=2^x-2>0) 2t^2+18≤10t+10, t^2-5t+4≤0, t∈[1;4]. Deci 0≤ x-2≤2, x∈[2;4].

Grile Puteri, radicali, logaritmi, Limite de funcții

Valorile reale ale parametrului $m$ pentru care inecuația: $(m-1)x^2-(m+1)x+m+1>0$ este satisfăcută pentru $\forall x\in\mathbb{R}$ , sunt:

$m\in\left(\dfrac{5}{3};\infty\right)$
$m\in\left(-\infty;\dfrac{5}{3}\right)$
$m\in(-\infty;-1)\cup\left(\dfrac{5}{3};\infty\right)$
$m\in\left(-1;\dfrac{5}{3}\right)$
$m\in\varnothing$

Pentru

m=1

inecuația devine

-2x+2>0

, falsă pentru

x\geq1

. Pentru

m\neq1

trebuie

m-1>0

și

\Delta<0

:

\Delta=(m+1)^2-4(m-1)(m+1)=(m+1)(5-3m)<0

.Cu

m>1

, factorul

m+1>0

, deci

5-3m<0

, adică

m>\dfrac53

.

Mulțimea valorilor $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația: $2\lg^2\left(x^3\right)-3m\lg x+1=0$ admite soluții reale, este:

$\left(-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$
$\left(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3};\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)$
$m\in\left(-\infty;-2\sqrt{2}\right]\cup\left[2\sqrt{2};\infty\right)$
$m\in\left(-\infty;-\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)\cup\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3};\infty\right)$
$m\in\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3};\infty\right)$

Cu

t=\lg x\in\mathbb{R}

:

\lg\left(x^3\right)=3t

, iar ecuația devine

18t^2-3mt+1=0

.Ea are soluții reale când

\Delta=9m^2-72\geq0

, adică

m^2\geq8

,

|m|\geq2\sqrt2

.

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației: $\lg2+\lg\left(4^{x-2}+9\right)\leq1+\lg\left(2^{x-2}+1\right)$ , este:

$x\in[1;5]$
$x\in[2;4]$
$x\in[2;3]$
$x\in[4;6]$
$x\in[4;\infty]$

Inecuația este

\lg\left[2\left(4^{x-2}+9\right)\right]\leq\lg\left[10\left(2^{x-2}+1\right)\right]

, adică (cu

t=2^{x-2}>0

)

2t^2+18\leq10t+10

,

t^2-5t+4\leq0

,

t\in[1;4]

.Deci

0\leq x-2\leq2

,

x\in[2;4]

.

Inecuația $\log_3x+\log_3(x+5)+\log_30{,}02<0$ are ca soluție mulțimea:

$(-10;5)$
$(-\infty;-10)\cup(5;\infty)$
$(5;\infty)$
$(5;10)$
$(0;5)$

Domeniul:

x>0

. Inecuația devine

\log_3\left[0{,}02\,x(x+5)\right]<0

, adică

\dfrac{x(x+5)}{50}<1

,

x^2+5x-50<0

,

(x+10)(x-5)<0

.Cu

x>0

:

x\in(0;5)

.

Se dau numerele pozitive $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , în progresie aritmetică. Dacă $a_1+a_2+a_3=21$ și numerele $a_1+2$ , $a_2+3$ , $a_3+9$ sunt în progresie geometrică, atunci suma $a_1^2+a_2^2+a_3^2$ este:

$148$
$159$
$168$
$179$
$169$

a_2=7

,

a_1=7-r

,

a_3=7+r

. Condiția geometrică:

(9-r)(16+r)=10^2

, adică

r^2+7r-44=0

,

r=4

sau

r=-11

.Numerele fiind pozitive,

r=4

:

3,7,11

, iar

9+49+121=179

.

Matematică #260 Admitere Academia Forțelor Aeriene 2010