Limita șirului a_n=((n+1)(n+2))/(3n^3+2n-1) este:

E) 0. Numărătorul are gradul 2, iar numitorul gradul 3: a_n=(n^2+3n+2)/(3n^3+2n-1). Împărțind la n^3, numărătorul tinde la 0 și numitorul la 3, deci limita este 0.

Fie funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x e^x; să se calculeze f''(0).

B) 2. f'(x)=e^x+x e^x=(x+1)e^x și f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x, deci f''(0)=2.

Să se afle ecuația asimptotei la +∞ la graficul funcției f:ℝ∖{-1,1}→ℝ, f(x)=(2x^2+x+2)/(1-x^2).

B) y=-2. Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la +∞ este raportul coeficienților dominanți: (2)/(-1)=-2. Asimptota orizontală la +∞ este y=-2.

Valoarea integralei ∫_0^1(x)/(x^2+1) dx este:

B) (1)/(2)ln2. O primitivă este (1)/(2)ln(x^2+1), deoarece (x^2+1)'=2x. Rezultă (1)/(2)(ln2-ln1)=(1)/(2)ln2.

Grile Integrala definită · Matematică admitere Poliție 2016

Limita șirului $a_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{3n^3+2n-1}$ este:

$\dfrac{2}{3}$
$1$
$\infty$
$\dfrac{1}{3}$
$0$
$-\infty$

Numărătorul are gradul

2

, iar numitorul gradul

3

:

a_n=\dfrac{n^2+3n+2}{3n^3+2n-1}

. Împărțind la

n^3

, numărătorul tinde la

0

și numitorul la

3

, deci limita este

0

.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x\,e^x$ ; să se calculeze $f''(0)$ .

$0$
$2$
$1$
$-2$
$2e$
$-1$

f'(x)=e^x+x\,e^x=(x+1)e^x

și

f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x

, deci

f''(0)=2

.

Să se determine $a\in\mathbb{R}$ astfel încât funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\begin{cases}\left(2x^2+x-a\right)e^{2x}, & \text{dacă } x\ge0\\ \ln\left(1+x^2\right), & \text{dacă } x<0\end{cases}$ să fie continuă.

$a=-\dfrac{1}{2}$
$a=-3$
$\ln2$
$a=-\dfrac{3}{2}$
$a=1$
$a=0$

Pe fiecare ramură funcția este continuă; rămâne punctul

x=0

. Limita la stânga este

\ln(1+0)=0

, iar

f(0)=(0+0-a)e^0=-a

. Continuitatea cere

-a=0

, adică

a=0

.

Să se afle ecuația asimptotei la $+\infty$ la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{2x^2+x+2}{1-x^2}$ .

$y=1$
$y=-2$
$y=x$
$y=0$
$y=\dfrac{1}{2}$
$y=x+1$

Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la

+\infty

este raportul coeficienților dominanți:

\dfrac{2}{-1}=-2

. Asimptota orizontală la

+\infty

este

y=-2

.

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx$ este:

$\ln2$
$\dfrac{1}{2}\ln2$
$1$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{3}{2}\ln2$
$2\ln2$

O primitivă este

\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)

, deoarece

\left(x^2+1\right)'=2x

. Rezultă

\dfrac{1}{2}(\ln2-\ln1)=\dfrac{1}{2}\ln2

.

Matematică #268 Admitere Academia de Poliție 2016 — Pompieri