[canonical]: https://grile.online/matematica/sisteme-liniare

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/sisteme-liniare
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Sisteme liniare · Matematică

15 grile, în 3 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Rezolvați sistemul $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ folosind regula lui Cramer și calculați $x + y$.

a) $1$
b) $2$
c) $3$
d) $4$
e) $5$
f) $6$

Răspuns corect: c) $3$

$\Delta = -3$, $\Delta_x = -6$, $\Delta_y = -3$, deci $x = 2$, $y = 1$ și $x + y = 3$.

2. Pentru ce valoare $m \in \mathbb{R}$ sistemul

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ x + y + mz = 3 \end{cases}$$

nu are soluție?

a) $m = 1$
b) $m = 0$
c) $m = -1$
d) $m = 2$
e) $m = -2$
f) $m \in \{1,\, -2\}$

Răspuns corect: a) $m = 1$

Determinantul matricei coeficienților este $(m-1)^2$, deci se anulează doar la $m = 1$; acolo toate cele trei ecuații ar cere ca $x+y+z$ să fie deodată $1$, $2$ și $3$, ceea ce e imposibil — sistemul e incompatibil exact când $m = 1$.

3. Rezolvați sistemul

$$\begin{cases} \dfrac{3xy}{x+y} = 5 \\[4pt] \dfrac{2xz}{x+z} = 3 \\[4pt] \dfrac{yz}{y+z} = 4 \end{cases}$$

și determinați $x + y + z$.

a) $10$
b) $\frac{91}{60}$
c) $\frac{120}{61} + \frac{120}{11} + \frac{120}{19}$
d) $\frac{43}{4}$
e) $\frac{91}{120}$
f) $\frac{120}{91}$

Răspuns corect: c) $\frac{120}{61} + \frac{120}{11} + \frac{120}{19}$

Notând $a=1/x$, $b=1/y$, $c=1/z$, sistemul devine $a+b=\dfrac{3}{5}$, $a+c=\dfrac{2}{3}$, $b+c=\dfrac{1}{4}$; adunând toate trei dă $a+b+c=\dfrac{91}{120}$, de unde $a=\dfrac{61}{120}$, $b=\dfrac{11}{120}$, $c=\dfrac{19}{120}$ și $x+y+z = \dfrac{120}{61}+\dfrac{120}{11}+\dfrac{120}{19}$.

4. Fie

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 1 & b \end{pmatrix}$$

cu $\operatorname{rang}(A) = 2$. Determinați $(a, b)$.

a) $(1, 0)$
b) $(-1, -1)$
c) $(0, 1)$
d) $(2, -2)$
e) $(1, 1)$
f) $(-1, 3)$

Răspuns corect: b) $(-1, -1)$

Din $2R_2 - R_1 = (0, 3, 2a-1, 3)$ și $2R_3 - R_1 = (0, -1, 1, 2b+1)$, condiția $\operatorname{rang}(A) = 2$ cere ca aceste două rânduri să fie proporționale — raportul $-3$ dă $2a-1=-3$ și $3=-3(2b+1)$, adică $a=-1$ și $b=-1$.

5. Pentru sistemul $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$, determinantul sistemului $\Delta$ este:

a) $2$
b) $-2$
c) $0$
d) $6$

Răspuns corect: b) $-2$

$$\Delta=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot 1=-2.$$

Cum $\Delta\ne 0$, sistemul este de tip Cramer: are soluție **unică**.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #002](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-ii)
- [Matematică #012](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-determinanti-sisteme)