[canonical]: https://grile.online/matematica/sirul-lui-rolle

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/sirul-lui-rolle
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Șirul lui Rolle · Matematică

3 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Funcția $f(x)=x^3-3x+1$ are, conform șirului lui Rolle, exact:

a) $1$ rădăcină reală
b) $3$ rădăcini reale distincte
c) $0$ rădăcini reale
d) $2$ rădăcini reale distincte

Răspuns corect: b) $3$ rădăcini reale distincte

$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$. Avem $f(-1)=3>0$, $f(1)=-1<0$, iar $f(-\infty)=-\infty$, $f(\infty)=\infty$. Șirul de semne $(-,+,-,+)$ are $3$ schimbări de semn, deci $f$ are $3$ rădăcini reale distincte.

2. Numărul rădăcinilor reale ale ecuației $x^5+5x+1=0$ este:

a) $5$
b) $3$
c) $1$
d) $0$

Răspuns corect: c) $1$

Fie $f(x)=x^5+5x+1$. Atunci
$$f'(x)=5x^4+5=5\left(x^4+1\right)>0\quad\text{pentru orice }x\in\mathbb R.$$

Deci $f$ este **strict crescătoare** pe $\mathbb R$, prin urmare injectivă: ecuația $f(x)=0$ are **cel mult** o soluție.

Cum $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, iar $f$ e continuă, există (proprietatea lui Darboux) cel puțin o soluție.

Deci ecuația are **exact o** rădăcină reală.

(Numeric: $x\approx-0{,}19994$; într-adevăr $f(-1)=-5<0<1=f(0)$.)

3. Fie ecuația $x^3-3m^2x+2m=0$. Mulțimea $A$ a valorilor parametrului real $m$ pentru care ecuația admite o singură rădăcină reală care nu este multiplă, este:

a) $A=(-1,0)\cup(0,1)$
b) $A=(-\infty,-1)$
c) $A=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$
d) $A=(1,\infty)$

Răspuns corect: a) $A=(-1,0)\cup(0,1)$

$f(x)=x^3-3m^2x+2m$, $f'(x)=3(x-m)(x+m)$. Pentru $m=0$, $f(x)=x^3$ are rădăcina triplă $x=0$ — multiplă, deci exclusă.

Pentru $m\ne 0$: $f(m)=2m(1-m)(1+m)$ și $f(-m)=2m(1+m^2)$.

$f(m)\cdot f(-m)=4m^2(1-m^2)(1+m^2)=4m^2(1-m^4)$.

Deoarece $m^2>0$, condiția pentru o singură rădăcină reală simplă (extremele locale de același semn, funcția traversând axa $Ox$ o singură dată) este $1-m^4>0\iff |m|<1$.

Deci $A=(-1,0)\cup(0,1)$.

4. Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$ o funcție derivabilă în $0$, cu $f(0)=0$ și $f'(0)=3$. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}$ este:

a) $\dfrac32$
b) $0$
c) $3$
d) $6$

Răspuns corect: d) $6$

Cum $f(0)=0$, putem scrie
$$\frac{f(2x)}{x}=2\cdot\frac{f(2x)-f(0)}{2x}.$$

Notând $t=2x\to 0$, fracția este exact raportul incremental al lui $f$ în $0$:
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(0)}{2x}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=f'(0)=3.$$

Prin urmare
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=2\cdot 3=6.$$

Observație: ipoteza $f(0)=0$ este esențială — altfel limita ar fi infinită.

(din capitolul Derivate)

5. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^3+3x+1$, este bijectivă. Valoarea lui $\left(f^{-1}\right)'(5)$ este:

a) $\dfrac16$
b) $6$
c) $\dfrac{1}{78}$
d) $\dfrac15$

Răspuns corect: a) $\dfrac16$

**Bijectivitatea.** $f'(x)=3x^2+3>0$ pentru orice $x$, deci $f$ e strict crescătoare; fiind și continuă cu limite $\mp\infty$, este bijectivă.

**Punctul.** Căutăm $x$ cu $f(x)=5$:
$$x^3+3x+1=5\iff x^3+3x-4=0.$$
Se observă $x=1$: $1+3-4=0$ (și e unic, prin injectivitate). Deci $f^{-1}(5)=1$.

**Formula derivatei inversei:**
$$\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(5)\right)}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3+3}=\frac16.$$

Observație: $f'(5)=78$ — a calcula derivata în $5$ în loc de $1$ este exact capcana.

(din capitolul Derivate)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #014](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-derivate)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)