[canonical]: https://grile.online/matematica/semigrupuri-si-monoizi

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/semigrupuri-si-monoizi
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Semigrupuri și monoizi · Matematică

4 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Un **monoid** este:

a) un semigrup cu element neutru
b) o mulțime cu o lege comutativă
c) o mulțime în care orice element are simetric
d) un grup comutativ

Răspuns corect: a) un semigrup cu element neutru

Un monoid este un semigrup (lege asociativă) care are, în plus, **element neutru**.

Comutativitatea nu este cerută — un monoid poate fi necomutativ, ca $\left(\mathcal M_2(\mathbb R),\cdot\right)$.

2. O mulțime nevidă $M$ înzestrată cu o lege de compoziție $*$ formează un **semigrup** dacă:

a) orice element are simetric
b) există element neutru
c) legea este comutativă
d) legea este asociativă

Răspuns corect: d) legea este asociativă

Un semigrup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție **asociativă**.

Structura se îmbogățește treptat:

- semigrup = asociativitate;
- **monoid** = semigrup + element neutru;
- **grup** = monoid + simetrizabilitate.

3. Se consideră legea de compoziție $x*y=x+y-7$, definită pe $\mathbb{R}$; se admite că $(\mathbb{R},*)$ este monoid. Elementul neutru al acestui monoid este:

a) $-7$
b) $0$
c) $7$
d) $14$

Răspuns corect: c) $7$

Condiția $x*e=x$ devine $x+e-7=x$, deci $e-7=0$.

$$e=7$$

4. Structura $(\mathbb N,\,+)$ este:

a) doar semigrup, fără element neutru
b) semigrup (și chiar monoid)
c) nu este semigrup
d) grup

Răspuns corect: b) semigrup (și chiar monoid)

Adunarea pe $\mathbb N$ este asociativă, deci $(\mathbb N,+)$ este semigrup. Mai mult, $0$ este element neutru, deci este chiar **monoid**.

Nu este însă grup: de exemplu $2$ nu are opus în $\mathbb N$.

5. Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=x+y-3$. Această lege este:

a) fără sens pentru $x=3$
b) necomutativă
c) comutativă
d) comutativă doar pentru $x,y>0$

Răspuns corect: c) comutativă

$$x*y=x+y-3,\qquad y*x=y+x-3.$$

Cum adunarea numerelor reale este comutativă, cele două expresii coincid, deci legea este **comutativă**.

(din capitolul Legi de compoziție)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #017](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-legi-compozitie-grupuri)