Grile gratuite · Matematică

O propoziție matematică este o afirmație care:

este fie adevărată, fie falsă (dar nu ambele)
conține cel puțin o variabilă liberă
poate fi adevărată și falsă în același timp
exprimă o întrebare sau o cerință

Prin definiție, o propoziție matematică este o afirmație despre care se poate spune, fără ambiguitate, dacă este adevărată sau falsă, dar nu ambele simultan.Afirmațiile cu variabile libere (de ex.

x > 0

) sunt predicate, nu propoziții, pentru că valoarea lor de adevăr depinde de variabilă. Întrebările și cerințele nu sunt propoziții.

Propoziția $\neg(p \lor q)$ este echivalentă cu:

$\neg p \to \neg q$
$\neg p \land \neg q$
$p \land q$
$\neg p \lor \neg q$

Conform legilor lui De Morgan:

\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q

Intuitiv: "nu este adevărat că

p

sau

q

" înseamnă că nici

p

nu este adevărat, nici

q

nu este adevărat — adică ambele sunt false simultan.(Cealaltă lege a lui De Morgan este

\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q

.)

Verificați baza de inducție $n = 1$ pentru formula $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . Care este valoarea membrului drept pentru $n = 1$ ?

$0$
$2$
$n + 1$
$1$

Pentru

n = 1

:

\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1

, ceea ce este egal cu membrul stâng

1

. Baza inducției este verificată.

Predicatul $x^2 \geq 0$ devine propoziție adevărată dacă cuantificăm:

$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$
$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$
$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$

Pentru orice

x \in \mathbb{R}

, pătratul este nenegativ:

\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0

Aceasta este o propoziție adevărată, pentru că

x^2 \geq 0

se verifică pentru orice număr real.Celelalte variante sunt fie false (nu există

x \in \mathbb{R}

cu

x^2 < 0

sau

x^2 = -1

), fie nu redau predicatul dat.

Implicația $p \to q$ este falsă numai când:

$p$ este fals și $q$ este adevărat
$p$ este fals și $q$ este fals
$p$ este adevărat și $q$ este fals
$p$ este adevărat și $q$ este adevărat

Tabelul de adevăr al implicației

p \to q

:

\begin{array}{cc|c} p & q & p \to q \\ \hline \text{A} & \text{A} & \text{A} \\ \text{A} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{A} & \text{A} \\ \text{F} & \text{F} & \text{A} \end{array}

Singura combinație în care

p \to q

este falsă este

p

adevărat și

q

fals.