Grile gratuite · Matematică

O primitivă a funcției $f(x)=x^3$ este:

\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+\mathcal C.

Verificare prin derivare:

\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'=\dfrac{4x^3}{4}=x^3

(

3x^2

este derivata, nu primitiva.)

Valoarea integralei $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$ este:

Prin părți (

u=x

,

dv=\sin x\,dx

, deci

v=-\cos x

):

\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=\sin x-x\cos x+C.

Evaluând:

\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=\left.\left(\sin x-x\cos x\right)\right|_0^{\pi}=\left(0-\pi\cdot(-1)\right)-\left(0-0\right)=\pi.

(Observație: aici termenul de la capete dă tot rezultatul, fiindcă

\sin 0=\sin\pi=0

.)

Mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=2xe^{x^2}$ , este:

Cu

t=x^2

avem

dt=2x\,dx

, deci

\int 2xe^{x^2}\,dx=\int e^t\,dt=e^t+\mathcal C=e^{x^2}+\mathcal C.

Verificare:

\left(e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}

O primitivă a funcției $f:(0,\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac1x$ , este:

\int\frac1x\,dx=\ln x+\mathcal C\quad\text{pe }(0,\infty).

Pe un interval din

(-\infty,0)

primitiva este

\ln(-x)

, de unde formula generală

\ln|x|+\mathcal C

.Formula puterii ar da

\dfrac{x^0}{0}

— nedefinit, exact motivul pentru care acest caz este tratat separat.

Mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$ , este:

\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln(1+x^2)+\mathcal C.

Verificare:

\bigl(\ln(1+x^2)\bigr)'=\dfrac{2x}{1+x^2}

(Cu numărătorul

1

în loc de

2x

rezultatul ar fi fost

\operatorname{arctg}x

— două integrale foarte asemănătoare la scriere, dar complet diferite.)