Care dintre următoarele polinoame este reductibil peste R?
- X2+1
- X2+4
- X2−4
- X2+X+1
X2−4=(X−2)(X+2), deci reductibil.Celelalte au discriminant negativ: Δ(X2+1)=−4, Δ(X2+X+1)=−3, Δ(X2+4)=−16 — toate ireductibile peste R.X2−4=(X−2)(X+2)Se consideră polinomul P=X3−3X2+mX−4∈R[X], cu m∈R parametru. Valoarea lui m pentru care (X−2)∣P este:
- −4
- 2
- 8
- 4
P(2)=8−12+2m−4=2m−8. Condiția P(2)=0 dă 2m−8=0.m=4Fie x1,x2,x3,x4∈C rădăcinile polinomului f(X)=X4−5X3+2X2+X−3. Suma x1+x2+x3+x4 este:
- −5
- 2
- 5
- −3
Pentru X4+c3X3+c2X2+c1X+c0, suma rădăcinilor este −c3. Aici c3=−5, decix1+x2+x3+x4=5.Polinomul f(X)=X3+X−1∈Q[X] este:
- reductibil, cu rădăcina 1
- ireductibil peste Q
- reductibil, cu rădăcina −1
- reductibil, cu rădăcina 21
Fiind cubic cu coeficienți întregi și coeficientul dominant 1, singurii candidați raționali sunt divizorii termenului liber: ±1.f(1)=1+1−1=1=0,f(−1)=−1−1−1=−3=0.Niciun candidat nu e rădăcină, deci f nu are nicio rădăcină rațională. Cum un polinom de gradul 3 reductibil peste Q ar trebui să aibă un factor liniar (deci o rădăcină rațională), f este ireductibil.ireductibil peste QMulțimea rădăcinilor polinomului P=X3+2X+2∈Z5[X] — clasele x^ pentru care P(x^)=0^ — este:
- {0^,4^}
- {2^,4^}
- {1^,3^}
- {0^,2^}
Se testează x∈{0,1,2,3,4}: P(0)=2, P(1)=1+2+2=5≡0, P(2)=8+4+2=14≡4, P(3)=27+6+2=35≡0, P(4)=64+8+2=74≡4(mod5).Doar x=1 și x=3 dau restul 0^.{x^∈Z5:P(x^)=0^}={1^,3^}