Grile gratuite · Matematică

Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=x+y-3$ . Această lege este:

fără sens pentru $x=3$
necomutativă
comutativă
comutativă doar pentru $x,y>0$

x*y=x+y-3,\qquad y*x=y+x-3.

Cum adunarea numerelor reale este comutativă, cele două expresii coincid, deci legea este comutativă.

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = 2xy + 2x + 2y + 1$ . Elementul neutru al legii $\ast$ este:

$-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$0$
$-1$

x \ast e = 2xe + 2x + 2e + 1 = x \Rightarrow 2e(x+1) = -(x+1) \Rightarrow e = -\dfrac{1}{2}.

Verificare:

2x\left(-\tfrac12\right) + 2x + 2\left(-\tfrac12\right) + 1 = -x + 2x - 1 + 1 = x.

În grupul $\left(\mathbb Z_5,+\right)$ , ordinul elementului $\hat 1$ este:

$2$
$1$
$5$
$4$

\hat 1,\ \hat 2,\ \hat 3,\ \hat 4,\ \hat 5=\hat 0,

deci primul

k

pentru care se obține

\hat 0

este

k=5

.Așadar

\hat 1

generează întreg grupul:

\left(\mathbb Z_5,+\right)

este ciclic.

Pe mulțimea $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = xy + 2x + 2y + c$ , unde $c$ este număr real. Valoarea lui $c$ pentru care $(\mathbb{R} \setminus \{-2\}, \ast)$ este grup este:

$4$
$-2$
$2$
$6$

f(x) = x + 2

dă

f(x \ast y) = x \ast y + 2 = xy + 2x + 2y + c + 2

, iar

f(x) f(y) = (x+2)(y+2) = xy + 2x + 2y + 4

.Egalând constantele:

c + 2 = 4 \Rightarrow c = 2

. Atunci elementul neutru este

-1

, iar structura este grup, izomorf cu

(\mathbb{R}^\ast, \cdot)

.

Fie $(G,\cdot)$ un grup finit cu $|G|=15$ . Care dintre următoarele numere NU poate fi ordinul unui subgrup al lui $G$ ?

$6$
$5$
$15$
$3$

Divizorii lui

15

sunt

1,3,5,15

. Orice subgrup al lui

G

poate avea doar unul dintre aceste ordine, deci

6

este exclus (nu divide

15

).

6