Grile gratuite · Matematică

Aria mărginită de graficele funcțiilor $y=x$ și $y=x^{3}$ pe intervalul $[-1,1]$ este:

$0$
$\dfrac12$
$1$
$\dfrac14$

Poziția relativă.

x-x^3=x\left(1-x^2\right)

: - pe

(0,1)

: pozitiv, deci

y=x

e deasupra; - pe

(-1,0)

: negativ, deci

y=x^3

e deasupra.Aria cere modulul, deci se sparge integrala. Prin simetrie (integrandul

\left|x-x^3\right|

este par):

\mathcal A=2\int_0^1\left(x-x^3\right)dx=2\left(\frac12-\frac14\right)=2\cdot\frac14=\frac12.

Observație:

\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x-x^3\right)dx=0

(funcție impară) — dar aceasta nu este aria, ci diferența algebrică a celor două bucăți.

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,1]\to\mathbb R$ , $f(x)=e^{-x}$ , este:

$\dfrac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{2}$
$\pi\left(1-e^{-1}\right)$
$\pi\left(1-e^{-2}\right)$
$\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}$

V=\pi\int_0^1 e^{-2x}dx=\pi\left.\left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)\right|_0^1=\pi\left(-\frac{e^{-2}}{2}+\frac12\right)=\frac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}.

Numeric:

\approx\dfrac{\pi\cdot 0{,}8647}{2}\approx 1{,}358

.Observație: ridicarea la pătrat dublează exponentul (

e^{-2x}

), iar integrarea introduce factorul

\dfrac12

— ambele sunt ușor de ratat.

Fie $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$ . Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n$ este:

$0$
$\dfrac\pi2$
$\dfrac\pi4$
$1$

Pe intervalul

\left[0,\dfrac\pi2\right)

avem

0\le\sin x<1

, deci

\sin^nx

scade la

0

în fiecare punct, iar șirul

(I_n)

este descrescător și mărginit inferior de

0

.Din recurența

I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}

rezultă

I_nI_{n-1}=\dfrac{\pi}{2n}\to 0

, ceea ce confirmă

\lim_{n\to\infty}I_n=0.

(Numeric:

I_2=\dfrac\pi4\approx 0{,}785

,

I_4=\dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}589

,

I_6=\dfrac{15\pi}{96}\approx 0{,}491

— scădere lentă, dar sigură spre

0

.)

Fie $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$ , cu $I_1=1$ și recurența $I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ . Atunci $I_3$ este:

$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac12$
$\dfrac23$
$\dfrac34$

I_3=\frac23I_1=\frac23\cdot 1=\frac23.

Observă contrastul: pentru indici pari apare

\pi

(fiindcă lanțul se oprește la

I_0=\dfrac\pi2

), iar pentru indici impari rezultatul este rațional (lanțul se oprește la

I_1=1

).

Aria subgraficului funcției $f:[1,e]\to\mathbb R$ , $f(x)=\ln x$ , este:

$1$
$e-1$
$e$
$\dfrac12$

Pe

[1,e]

avem

\ln x\ge 0

, deci aria este chiar integrala:

\mathcal A=\int_1^{e}\ln x\,dx=\left.\left(x\ln x-x\right)\right|_1^{e}=(e-e)-(0-1)=1.

Rezultat remarcabil de curat: aria de sub logaritm pe

[1,e]

este exact

1

.(Consistent geometric: dreptunghiul

[1,e]\times[0,1]

are aria

e-1\approx1{,}718

, iar curba taie din el ceva mai mult de jumătate.)