Grile gratuite · Matematică

Structura $(\mathbb Z,+,\cdot)$ este inel comutativ cu element unitate, dar NU este corp, deoarece:

înmulțirea nu este asociativă pe $\mathbb Z$
nu orice element nenul are invers față de înmulțire în $\mathbb Z$
adunarea nu este comutativă pe $\mathbb Z$
$\mathbb Z$ nu are element neutru la adunare

Adunarea și înmulțirea pe

\mathbb Z

au toate proprietățile de inel comutativ unitar. Însă, de exemplu,

2\in\mathbb Z

nu are invers multiplicativ în

\mathbb Z

(ar fi

\tfrac12\notin\mathbb Z

), deci nu orice element nenul e inversabil.

\mathbb Z\text{ nu este corp}

Structura $(\mathbb Z_p,+,\cdot)$ este corp exact atunci când $p$ este:

număr par
pătrat perfect
număr compus
număr prim

\mathbb Z_n

este corp doar dacă orice element nenul e inversabil, adică prim cu

n

; asta se întâmplă pentru toate clasele nenule exact când

n

nu are divizori proprii, adică atunci când

n=p

este prim.

p\text{ este prim}

Numărul elementelor inversabile ale inelului $(\mathbb{Z}_{12}, +, \cdot)$ este:

$6$
$3$
$11$
$4$

Elementul

\hat a

este inversabil în

\mathbb{Z}_{12}

exact atunci când

\gcd(a,12)=1

.Verificăm

a \in \{1,2,\dots,11\}

:

\gcd(1,12)=1

,

\gcd(5,12)=1

,

\gcd(7,12)=1

,

\gcd(11,12)=1

; toate celelalte (

2,3,4,6,8,9,10

) au un factor comun cu

12 = 2^2\cdot 3

.Elementele inversabile sunt

\{\hat1, \hat5, \hat7, \hat{11}\}

, deci numărul lor este:

\varphi(12) = 12\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right) = 12\cdot\frac12\cdot\frac23 = 4

Verificare prin enumerare directă:

\{1,5,7,11\}

— exact

4

elemente.

Pentru care dintre următoarele valori ale lui $n$ , inelul $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ este corp?

$n = 6$
$n = 4$
$n = 9$
$n = 11$

Inelul

(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)

este corp dacă și numai dacă

n

este prim — doar atunci fiecare clasă nenulă

\hat{a}

are

\gcd(a,n)=1

, deci este inversabilă.Dintre valorile date,

4 = 2^2

,

6 = 2\cdot 3

,

9 = 3^2

sunt numere compuse, deci

\mathbb{Z}_4

,

\mathbb{Z}_6

,

\mathbb{Z}_9

au divizori ai lui zero (de exemplu

\hat 2 \cdot \hat 2 = \hat 0

în

\mathbb{Z}_4

) și nu sunt corpuri.Singura valoare primă este

n = 11

.Verificare: în

\mathbb{Z}_{11}

fiecare din elementele

\hat1,\dots,\hat{10}

este inversabil (numărul elementelor inversabile este

\varphi(11)=10

, adică toate cele

10

elemente nenule), deci

\mathbb{Z}_{11}

este corp.

Un inel este o mulțime nevidă cu două operații $+$ și $\cdot$ astfel încât:

$(R, +)$ este un grup; $(R, \cdot)$ este un grup
$(R, +)$ este un monoid; $\cdot$ este comutativă
$(R, +)$ este un grup; $\cdot$ este asociativă
$(R, +)$ este un grup abelian; $\cdot$ este asociativă; $\cdot$ este distributivă față de $+$

Un inel: grup abelian față de

+

,

\cdot

asociativă și distributivitate lui

\cdot

față de

+

. (Unele definiții cer și existența elementului neutru multiplicativ.)