Prin definiție, Zn=Z/nZ este mulțimea claselor de resturi modulo n:Zn={0^,1^,…,n−1}Fiecare k^ este o clasă de echivalență, nu un număr întreg.
În Z6, produsul 4^⋅3^ este egal cu:
2^
0^
3^
1^
4⋅3=12, iar 12=2⋅6+0, deci 12≡0(mod6).Așadar 4^⋅3^=0^ în Z6 — un exemplu de divizori ai lui zero (nici 4^, nici 3^ nu sunt 0^, dar produsul lor este 0^, fenomen posibil doar când modulul 6 nu e prim). Verificare: 12 este multiplu de 6.
În Z4, clasa lui 7 este:
1^
3^
7^
0^
Împărțim 7 la 4 cu rest:7=1⋅4+3Restul este 3, deci 7^=3^ în Z4.Orice clasă în Zn are un reprezentant unic în {0,1,…,n−1}.
În Zn, distributivitatea înmulțirii față de adunare se exprimă astfel:
a^⋅(b^⋅c^)=a^⋅b^+a^⋅c^
a^⋅(b^+c^)=a^⋅b^+a^⋅c^
a^⋅(b^+c^)=a^⋅b^⋅a^⋅c^
a^+(b^⋅c^)=(a^+b^)⋅(a^+c^)
Pentru orice a^,b^,c^∈Zn, înmulțirea este distributivă față de adunare:a^⋅(b^+c^)=a^⋅b^+a^⋅c^Aceasta rezultă din proprietatea analoagă pe Z: dacă a(b+c)=ab+ac în Z, atunci aceeași egalitate, redusă modulo n, dă identitatea de mai sus în Zn.
Soluția ecuației 5^⋅x=4^ în Z13 este x egal cu:
9^
6^
4^
7^
Deoarece gcd(5,13)=1, clasa 5^ este inversabilă în Z13, deci ecuația are soluție unică.Testăm x=6:5⋅6=30=2⋅13+4⟹30≡4(mod13)Deci 5^⋅6^=4^ în Z13, adică x=6^.Verificare: 5⋅6=30, iar 30mod13=4.