Grile gratuite · Matematică

O inversiune a permutării $\sigma$ este o pereche $(i, j)$ astfel încât:

$i = j$ și $\sigma(i) \neq \sigma(j)$
$i < j$ și $\sigma(i) < \sigma(j)$
$i > j$ și $\sigma(i) > \sigma(j)$
$i < j$ și $\sigma(i) > \sigma(j)$

Prin definiție, o pereche

(i, j)

cu

1 \le i < j \le n

este o inversiune a permutării

\sigma \in S_n

dacă

\sigma(i) > \sigma(j).

Numărul total de astfel de perechi se notează cu

\operatorname{inv}(\sigma)

și stă la baza definiției signaturii.

Fie permutarea $\sigma=(1\ 3\ 5\ 2)\in S_5$ , scrisă ca un ciclu de lungime $4$ (elementul $4$ este fix). Ordinul lui $\sigma$ este:

$3$
$4$
$2$
$5$

Pentru un ciclu de lungime

k

, ordinul este exact

k

(cea mai mică putere care revine la identitate parcurge tot ciclul o dată).Ciclul

(1\ 3\ 5\ 2)

are lungimea

4

, deci

\text{ord}(\sigma)=4

.Verificare (sympy): Permutation([[0,2,4,1]], size=5).order() →

4

.

Fie permutarea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \in S_4$ Numărul punctelor fixe ale lui $\sigma$ (elementele $k$ cu $\sigma(k)=k$ ) este:

$3$
$1$
$2$
$0$

Verificăm fiecare valoare:

\sigma(1)=1

(fix),

\sigma(2)=3

(nu),

\sigma(3)=2

(nu),

\sigma(4)=4

(fix). Deci

\text{puncte fixe: } \{1, 4\}, \quad \text{numărul lor} = 2

Fie $\sigma=(1\ 3\ 5\ 2\ 4)$ un ciclu de lungime $5$ din $S_5$ (adică $\sigma(1)=3,\ \sigma(3)=5,\ \sigma(5)=2,\ \sigma(2)=4,\ \sigma(4)=1$ ). Ordinul lui $\sigma$ (cel mai mic $k\in\mathbb{N}^*$ cu $\sigma^k=e$ ) este:

$4$
$25$
$5$
$120$

Un ciclu de lungime

5

are ordinul

5

:

\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4

sunt diferite de identitate, iar

\sigma^5=e

.Verificare: urmărind orbita lui

1

:

1\to3\to5\to2\to4\to1

— exact

5

pași pentru a reveni la

1

; calculul direct al lui

\sigma^5

(verificat computațional cu sympy, Permutation.order()) confirmă

5

. (

25=5^2

și

120=5!

sunt capcane care confundă ordinul ciclului cu alte cantități.)

Fie permutările din $S_3$ : $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ Atunci $\sigma \tau$ (adică $\sigma \circ \tau$ , aplicând întâi $\tau$ ) este egală cu:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Aplicăm convenția

(\sigma \tau)(k) = \sigma(\tau(k))

:

\begin{aligned} (\sigma\tau)(1) &= \sigma(\tau(1)) = \sigma(1) = 2 \\ (\sigma\tau)(2) &= \sigma(\tau(2)) = \sigma(3) = 3 \\ (\sigma\tau)(3) &= \sigma(\tau(3)) = \sigma(2) = 1 \end{aligned}

Deci

\sigma \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.