Grile gratuite · Matematică

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[x-\ln\left(e^{x}+1\right)\right]$ este:

$-\ln 2$
$0$
$-\infty$
$1$

Scoatem

e^x

factor sub logaritm:

\ln\left(e^{x}+1\right)=\ln\left[e^{x}\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right).

Prin urmare

x-\ln\left(e^{x}+1\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right).

Cum

e^{-x}\to 0

când

x\to+\infty

:

-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln 1=0.

Observație:

-\ln 2

ar fi valoarea în

x=0

, nu limita la

+\infty

.

Fie $f(x)=\begin{cases}3x-1, & x<2\\x^2-3, & x\ge2\end{cases}$ Limita $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)$ :

nu există — limitele laterale sunt $5$ și $1$
există și este egală cu $1$
există și este egală cu $3$
există și este egală cu $5$

\displaystyle\lim_{x\to2^-}(3x-1)=5

.

\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x^2-3)=1

.Limitele laterale sunt diferite (

5\ne1

), deci limita

\text{nu există.}

Pentru $n\ge 4$ are loc încadrarea $0<\dfrac{2^n}{n!}\le 2\left(\dfrac12\right)^{n-3}$ . Rezultă că $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ este:

$2$
$+\infty$
$0$
$1$

Marginea superioară

2\left(\dfrac12\right)^{n-3}

este un șir geometric cu rație subunitară, deci tinde la

0

.Prin criteriul cleștelui:

\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.

Verificare numerică: pentru

n=10

,

\dfrac{1024}{3\,628\,800}\approx 0{,}00028

Determinați $a\in\mathbb R$ astfel încât limita $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ să existe, unde $f(x)=\begin{cases}2x+a, & x<0\\x^2+3, & x\ge0\end{cases}$

$3$
$2$
$-3$
$0$

\displaystyle\lim_{x\to0^-}(2x+a)=a

.

\displaystyle\lim_{x\to0^+}(x^2+3)=3

.Limita există dacă

a=3.

Pentru $n\ge 1$ are loc încadrarea $1\le\sqrt[n]{n}\le 1+\dfrac{2}{\sqrt n}$ . Rezultă că $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ este:

$1$
$e$
$0$
$+\infty$

\lim_{n\to\infty}1=1,\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{\sqrt n}\right)=1,

deci prin criteriul cleștelui

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Încadrarea din dreapta se obține din inegalitatea mediilor aplicată produsului

\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot 1\cdots 1

.