Pentru orice matrice pătratică A, valoarea lui det(AT) este:
Pentru orice matrice pătratică A, valoarea lui det(AT) este:
−detA
detA
(detA)2
detA1
det(AT)=detA.Consecință practică: orice proprietate valabilă pentru linii este valabilă și pentru coloane.
Valoarea determinantului 5321 este:
1
11
−11
−1
5321=5⋅1−2⋅3=5−6=−1.Determinantul poate fi negativ — el nu este o „mărime”, ci un număr cu semn, care codifică și orientarea.
Folosind regula lui Sarrus, valoarea determinantului 1472583610 este:
3
−6
−3
0
Produsele descendente:
1⋅5⋅10+2⋅6⋅7+3⋅4⋅8=50+84+96=230.Produsele ascendente:
3⋅5⋅7+1⋅6⋅8+2⋅4⋅10=105+48+80=233.Δ=230−233=−3.(Comparație utilă: dacă ultimul element ar fi fost 9 în loc de 10, determinantul ar fi ieșit 0.)
Pentru sistemul {x+y=5x−y=1determinantul sistemului Δ este:
2
−2
0
6
Δ=111−1=1⋅(−1)−1⋅1=−2.Cum Δ=0, sistemul este de tip Cramer: are soluție unică.
Conform teoremei Kronecker–Capelli, un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă:
determinantul sistemului este nenul
toți termenii liberi sunt nuli
are tot atâtea ecuații câte necunoscute
rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse
sistem compatibil⟺rangA=rangAˉ,
unde Aˉ este matricea extinsă (matricea sistemului plus coloana termenilor liberi).Condiția Δ=0 este suficientă, dar nu necesară — un sistem poate fi compatibil și cu Δ=0 (caz nedeterminat).