Fie f:R→R o funcție derivabilă în 0, cu f(0)=0 și f′(0)=3. Valoarea limitei x→0limxf(2x) este:
- 23
- 0
- 3
- 6
Cum f(0)=0, putem scrie
xf(2x)=2⋅2xf(2x)−f(0).Notând t=2x→0, fracția este exact raportul incremental al lui f în 0:
x→0lim2xf(2x)−f(0)=t→0limtf(t)−f(0)=f′(0)=3.Prin urmare
x→0limxf(2x)=2⋅3=6.Observație: ipoteza f(0)=0 este esențială — altfel limita ar fi infinită.Funcția f:R→R, f(x)=x3+3x+1, este bijectivă. Valoarea lui (f−1)′(5) este:
- 61
- 6
- 781
- 51
Bijectivitatea. f′(x)=3x2+3>0 pentru orice x, deci f e strict crescătoare; fiind și continuă cu limite ∓∞, este bijectivă.Punctul. Căutăm x cu f(x)=5:
x3+3x+1=5⟺x3+3x−4=0.
Se observă x=1: 1+3−4=0 (și e unic, prin injectivitate). Deci f−1(5)=1.Formula derivatei inversei:
(f−1)′(5)=f′(f−1(5))1=f′(1)1=3+31=61.Observație: f′(5)=78 — a calcula derivata în 5 în loc de 1 este exact capcana.Înălțimea (m) unei mingi aruncate vertical este h(t)=−5t2+20t+1, unde t≥0 este timpul (secunde). Momentul t la care mingea atinge înălțimea maximă este:
- t=1
- t=10
- t=2
- t=4
h′(t)=−10t+20, se anulează la t=2; h′′(t)=−10<0, deci maxim.t=2.Aplicând teorema lui Lagrange funcției f(x)=x2 pe intervalul [1,3], valoarea c∈(1,3)
pentru care f′(c)=3−1f(3)−f(1) este:
- 4
- 3
- 2
- 1
f(3)=9, f(1)=1, deci panta coardei este 3−19−1=4.f′(x)=2x, deci f′(c)=4⟺c=2, iar 2∈(1,3).c=2.Aplicând teorema lui Rolle funcției f(x)=x2−4x+3 pe intervalul [1,3], valoarea
c∈(1,3) pentru care f′(c)=0 este:
- 23
- 2
- 3
- 1
f(1)=1−4+3=0 și f(3)=9−12+3=0, deci ipotezele lui Rolle sunt îndeplinite pe [1,3].f′(x)=2x−4, deci f′(c)=0⟺c=2∈(1,3).c=2.