Fie f:R→R, f(x)={x+1,x−1,x<0x≥0Punctul x=0 este pentru f un punct de discontinuitate de:
Fie f:R→R, f(x)={x+1,x−1,x<0x≥0Punctul x=0 este pentru f un punct de discontinuitate de:
speța a II-a
punct izolat, în afara domeniului
continuitate — nu e punct de discontinuitate
speța I (salt finit)
x→0−limf(x)=x→0−lim(x+1)=1. x→0+limf(x)=x→0+lim(x−1)=−1.Ambele limite laterale sunt finite, dar diferite (1=−1), deci x=0 e punct de discontinuitate despeța I.
Fie f(x)=x−3x−1. Cel mai mare interval care conține pe x=2, pe care f este continuă, este:
(1,3)
(−∞,3)
[1,3)
[1,∞)
Condițiile de existență: x−1≥0⟺x≥1, și x−3=0⟺x=3. Deci domeniul este D=[1,3)∪(3,∞).Pe D, f e un cât de funcții continue cu numitor nenul, deci continuă peste tot pe D. Intervalul care conține x=2 este[1,3).
Fie
f(x)={x+3,a⋅x,x≤1x>1.
Valoarea parametrului a pentru care f este continuă în x=1 este:
1
4
3
41
Din prima ramură, f(1)=1+3=4.Limita la dreapta: limx→1+(a⋅x)=a.Pentru continuitate, a=4.Verificare: cu a=4, ramura din dreapta la x=1 dă 4⋅1=4=f(1).
Funcția f(x)=x−21 este continuă pe:
R∖{2}
(−∞,2)
(2,+∞)
R
Numitorul se anulează pentru x−2=0, adică x=2, punct în care f nu este definită.Pe restul dreptei reale, f este un raport de funcții elementare continue, deci este continuă. Rezultă că f este continuă pe
R∖{2}.Verificare: în orice vecinătate a unui punct x0=2, f se comportă ca o funcție rațională obișnuită, fără discontinuități; în x=2 funcția nici măcar nu e definită.
Fie f:R→R,
f(x)={x+1,x2+a,x≤0x>0.
Pentru ce valoare a lui a este f continuă în x=0?
0
2
−1
1
Calculăm limitele laterale și valoarea în 0:f(0)=0+1=1,x→0−limf(x)=x→0−lim(x+1)=1.x→0+limf(x)=x→0+lim(x2+a)=a.Pentru continuitate în x=0 avem nevoie de a=1.