Grile gratuite · Matematică

Rezultatul calculului $(2+3i)+(1-i)$ este:

(2+1)+(3-1)i=3+2i.

Punctele $A$ și $B$ au afixele $z_A=1+2i$ și $z_B=5+6i$ . Afixul mijlocului segmentului $[AB]$ este:

z_M=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{(1+2i)+(5+6i)}{2}=\frac{6+8i}{2}=3+4i.

(Aceeași formulă ca la coordonate: partea reală și cea imaginară se mediază separat.)

Forma algebrică a numărului complex $(\sqrt{3} + i)^{10}$ este:

Avem

\sqrt{3}+i = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)

, deci prin De Moivre:

(\sqrt{3}+i)^{10} = 2^{10}\!\left(\cos\frac{10\pi}{6} + i\sin\frac{10\pi}{6}\right) = 1024\!\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right).

Valorile notabile:

\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}

,

\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

, deci:

(\sqrt{3}+i)^{10} = 1024 \cdot \frac{1}{2} + 1024 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = 512 - 512\sqrt{3}\,i.

Punctele $A$ și $B$ au afixele $z_A=1+2i$ și $z_B=4+6i$ . Distanța $AB$ este:

z_B-z_A=3+4i,\qquad AB=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5.

Modulul diferenței este exact distanța euclidiană dintre imaginile geometrice ale celor două numere.

Conjugatul numărului $z=3-4i$ este:

\overline{z}=\overline{3-4i}=3+4i.

Geometric:

\overline z

este simetricul lui

z

față de axa reală.