Grile gratuite · Matematică

Domeniul maximal de definiție al funcției $f(x)=\ln(x^2-4)$ este:

$(-2,2)$
$\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$
$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
$[2,+\infty)$

Trebuie

x^2-4>0 \Leftrightarrow x^2>4

.

x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty).

Fie ecuația $(\lg x)^2 - 3\lg x + 2 = 0$ . Suma soluțiilor ecuației este:

$1000$
$110$
$102$
$3$

Substituție: fie

t = \lg x

. Ecuația devine

t^2 - 3t + 2 = 0

, cu rădăcinile

t_1 = 1

și

t_2 = 2

.Condiția de existență

x > 0

este satisfăcută automat (orice putere a lui

10

e pozitivă).

t_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 10^1 = 10

t_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 10^2 = 100

Suma soluțiilor:

x_1 + x_2 = 10 + 100 = 110

.

Soluțiile reale ale ecuației $\log_x 2+\log_2 x=\dfrac52$ (cu $x>0,\ x\ne1$ ) sunt:

doar $x=\sqrt2$
$x=2$ și $x=4$
$x=4$ și $x=\sqrt2$
doar $x=4$

Fie

t=\log_2x

(cu

t\ne0

, deoarece

x\ne1

). Deoarece

\log_x2=\dfrac{1}{\log_2x}=\dfrac1t

, ecuația devine

\dfrac1t+t=\dfrac52 \;\Longrightarrow\; 2t^2-5t+2=0.

Discriminant:

\Delta=25-16=9

, deci

t=\dfrac{5\pm3}{4}\in\left\{2,\ \dfrac12\right\}.

Pentru

t=2

:

\log_2x=2\Rightarrow x=4.

Pentru

t=\dfrac12

:

\log_2x=\dfrac12\Rightarrow x=\sqrt2.

Ambele satisfac

x>0,\ x\ne1

.

Mulțimea valorilor pe care le poate lua $E(x)=3^{x}\cdot3^{2-x}$ , pentru $x\in\mathbb{R}$ , este:

$\{9\}$
$(0,+\infty)$
$[9,+\infty)$
$\{3\}$

E(x)=3^{x}\cdot3^{2-x}=3^{x+2-x}=3^{2}=9

pentru orice

x\in\mathbb{R}

, deci mulțimea valorilor este

\{9\}

.

Determinați mulțimea valorilor reale $m > 0$ pentru care ecuația $\lg(x^2 + 4x + 5) = \lg(x + 3) + \lg m$ are cel puțin o soluție reală.

$m \ge 2$
$m \ge \sqrt{2} - 1$
$m \ge 2\sqrt{2} - 2$
$m \ge \sqrt{2}$

Condiții de existență:

x^2 + 4x + 5 > 0

(discriminant

= -4 < 0

, deci mereu adevărat),

x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

, și

m > 0

.Ecuația echivalentă (în domeniu):

x^2 + 4x + 5 = m(x + 3) \Rightarrow m = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 3}, \quad x > -3

Substituție

u = x + 3 > 0

(deci

x = u - 3

):

m = \frac{(u-3)^2 + 4(u-3) + 5}{u} = \frac{u^2 - 2u + 2}{u} = u - 2 + \frac{2}{u}

Minimizare prin inegalitatea AM-GM:

u + \frac{2}{u} \ge 2\sqrt{u \cdot \frac{2}{u}} = 2\sqrt{2}

cu egalitate la

u = \sqrt{2}

, deci:

m \ge 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)

Verificare: la

u = \sqrt{2}

(

x = \sqrt{2} - 3 \approx -1{,}59 > -3

),

m = \sqrt{2} - 2 + \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2

.Mulțimea valorilor este

m \in \bigl[2\sqrt{2} - 2,\; +\infty\bigr)

.