Grile gratuite · Matematică

Valoarea sumei $\displaystyle\sum_{k=0}^{8} k \cdot \binom{8}{k}$ este:

$1024$
$128$
$512$
$2048$

Din identitatea

k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}

:

\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} = n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} = n \cdot 2^{n-1}.

Pentru

n = 8

:

\sum_{k=0}^{8} k\binom{8}{k} = 8 \cdot 2^7 = 8 \cdot 128 = 1024.

Numărul natural $n$ verifică egalitatea $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$ . Valoarea lui $\binom{n}{4}$ este:

$56$
$70$
$84$
$28$

Din

\binom{n}{3} = \binom{n}{5}

și proprietatea

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

rezultă

n - 3 = 5

, deci

n = 8

.Verificare:

\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = 56

.

\binom{n}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\cdot 4!} = 70.

Numărul natural $n$ care satisface ecuația $A_n^2 = 72$ este:

$9$
$7$
$8$
$10$

A_n^2 = n(n-1)

. Ecuația devine:

n(n-1) = 72 \iff n^2 - n - 72 = 0.

Discriminantul:

\Delta = 1 + 288 = 289

, deci

n = \dfrac{1 + 17}{2} = 9

.Verificare:

9 \cdot 8 = 72

. Răspunsul este

n = 9

.

Pe o rețea de puncte de coordonate întregi, un robot se poate deplasa la fiecare pas cu o unitate spre dreapta (D) sau cu o unitate în sus (S). Câte drumuri distincte există de la $(0,0)$ la $(4,6)$ ?

$120$
$126$
$252$
$210$

Orice drum de la

(0,0)

la

(4,6)

constă din

4

pași spre dreapta și

6

pași în sus, în total

10

pași. Trebuie să alegem pe care

4

din cei

10

pași să fie spre dreapta:

\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!\cdot 6!} = 210.

Pe un raft se așază $5$ cărți diferite, una lângă alta. În câte moduri distincte pot fi așezate astfel încât $2$ cărți specifice, A și B, să fie mereu alăturate (una lângă cealaltă, în orice ordine între ele)?

$24$
$120$
$240$
$48$

Tratăm A și B ca un singur bloc, deci avem

4

obiecte de aranjat:

4!=24

moduri. Blocul intern poate fi AB sau BA: încă un factor

2

. Total:

24\times2 = 48

.