[canonical]: https://grile.online/matematica/puteri-radicali-logaritmi

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/puteri-radicali-logaritmi
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Puteri, radicali, logaritmi · Matematică

17 grile, în 4 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{x+3} = x-3$ este:

a) $\{1\}$
b) $\{1, 6\}$
c) $\{3\}$
d) $\{6\}$

Răspuns corect: d) $\{6\}$

**Condiția:** $x-3\ge 0$, deci $x\ge 3$.

$$x+3=(x-3)^2 \iff x+3=x^2-6x+9 \iff x^2-7x+6=0 \iff (x-1)(x-6)=0$$

$x=1$ sau $x=6$. Cum $x\ge 3$, $x=1$ se elimină. Verificare: $\sqrt{9}=3=6-3$.

$$x = 6$$

2. Forma rațională a numărului $\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}$ este:

a) $2\sqrt5+2\sqrt2$
b) $6\sqrt5+6\sqrt2$
c) $\dfrac{6\sqrt5+6\sqrt2}{7}$
d) $2\sqrt5-2\sqrt2$

Răspuns corect: a) $2\sqrt5+2\sqrt2$

$$\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}=\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}=\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}=\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{3}=2\sqrt5+2\sqrt2.$$

3. Numărul real pozitiv $x$ pentru care $x^{-2/3}=\dfrac14$ este:

a) $8$
b) $4$
c) $\dfrac{1}{8}$
d) $64$

Răspuns corect: a) $8$

$x^{-2/3}=\dfrac14 \Leftrightarrow x^{2/3}=4.$

$$x=4^{3/2}=\left(4^{1/2}\right)^3=2^3=8.$$

4. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{x^2-4x+4} = x-5$ este:

a) $\varnothing$
b) $\{5\}$
c) $\left\{\dfrac{7}{2}\right\}$
d) $\{2\}$

Răspuns corect: a) $\varnothing$

$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$, deci ecuația devine $|x-2|=x-5$.

**Condiția:** membrul drept trebuie să fie $\ge 0$ (modulul este mereu nenegativ), deci $x\ge 5$.

Pentru $x\ge 5$ avem $x-2>0$, deci $|x-2|=x-2$, iar ecuația devine:

$$x-2=x-5 \iff -2=-5$$

Contradicție — nu există niciun $x\ge 5$ care să verifice egalitatea.

$$\varnothing$$

(Ridicarea directă la pătrat, fără a observa pătratul perfect, ar da candidatul $x=\dfrac{7}{2}$, care oricum nu respectă $x\ge 5$ și se elimină.)

5. Domeniul maximal de definiție al expresiei $E(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ este:

a) $(1,5)$
b) $[1,+\infty)$
c) $(-\infty,5]$
d) $[1,5]$

Răspuns corect: d) $[1,5]$

$x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1.$

$5-x\ge0 \Rightarrow x\le5.$

Intersecția este $[1,5]$.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #003](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-9-numere-radicali)
- [Matematică #007](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-10-logaritmi-exponentiale)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)