[canonical]: https://grile.online/matematica/primitive

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/primitive
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Primitive · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. O primitivă a funcției $f(x)=x^3$ este:

a) $\dfrac{x^2}{2}$
b) $3x^2$
c) $x^4$
d) $\dfrac{x^4}{4}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{x^4}{4}$

$$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+\mathcal C.$$

Verificare prin derivare: $\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'=\dfrac{4x^3}{4}=x^3$ ($3x^2$ este **derivata**, nu primitiva.)

2. Valoarea integralei $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$ este:

a) $2$
b) $0$
c) $\dfrac{\pi^2}{2}$
d) $\pi$

Răspuns corect: d) $\pi$

Prin părți ($u=x$, $dv=\sin x\,dx$, deci $v=-\cos x$):
$$\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=\sin x-x\cos x+C.$$

Evaluând:
$$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=\left.\left(\sin x-x\cos x\right)\right|_0^{\pi}=\left(0-\pi\cdot(-1)\right)-\left(0-0\right)=\pi.$$

(Observație: aici termenul de la capete dă tot rezultatul, fiindcă $\sin 0=\sin\pi=0$.)

3. Mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=2xe^{x^2}$, este:

a) $x^2e^{x^2}+\mathcal C$
b) $e^{x^2}+\mathcal C$
c) $\dfrac{e^{x^2}}{2x}+\mathcal C$
d) $2e^{x^2}+\mathcal C$

Răspuns corect: b) $e^{x^2}+\mathcal C$

Cu $t=x^2$ avem $dt=2x\,dx$, deci
$$\int 2xe^{x^2}\,dx=\int e^t\,dt=e^t+\mathcal C=e^{x^2}+\mathcal C.$$

Verificare: $\left(e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}$

4. O primitivă a funcției $f:(0,\infty)\to\mathbb R$, $f(x)=\dfrac1x$, este:

a) $\dfrac{x^0}{0}$
b) $\ln x$
c) $-\dfrac{1}{x^2}$
d) $\dfrac{1}{2x^2}$

Răspuns corect: b) $\ln x$

$$\int\frac1x\,dx=\ln x+\mathcal C\quad\text{pe }(0,\infty).$$

Pe un interval din $(-\infty,0)$ primitiva este $\ln(-x)$, de unde formula generală $\ln|x|+\mathcal C$.

Formula puterii ar da $\dfrac{x^0}{0}$ — nedefinit, exact motivul pentru care acest caz este tratat separat.

5. Mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$, este:

a) $\dfrac{x^2}{1+x^2}+\mathcal C$
b) $\ln(1+x^2)+\mathcal C$
c) $\operatorname{arctg}x+\mathcal C$
d) $2\operatorname{arctg}x+\mathcal C$

Răspuns corect: b) $\ln(1+x^2)+\mathcal C$

$$\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln(1+x^2)+\mathcal C.$$

Verificare: $\bigl(\ln(1+x^2)\bigr)'=\dfrac{2x}{1+x^2}$

(Cu numărătorul $1$ în loc de $2x$ rezultatul ar fi fost $\operatorname{arctg}x$ — două integrale foarte asemănătoare la scriere, dar complet diferite.)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #015](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-primitive)