[canonical]: https://grile.online/matematica/polinoame

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/polinoame
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Polinoame · Matematică

4 grile, în 3 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Polinomul $f(X) = X^3 - 7X^2 + 14X - 8 \in \mathbb{R}[X]$ are toate rădăcinile reale și pozitive. Care este suma rădăcinilor lui $f$?

a) $-7$
b) $-1$
c) $1$
d) $7$
e) $8$
f) $14$

Răspuns corect: d) $7$

Din relațiile lui Viète, pentru $f(X) = X^3 - 7X^2 + 14X - 8$ suma rădăcinilor este $-b = 7$.

2. Fie ecuația $x^4+4x^3-2x^2-12x+p=0$, $p\in\mathbb{R}$. Suma tuturor valorilor parametrului real $p$ pentru care ecuația are o rădăcină dublă negativă este:

a) $0$
b) $2$
c) $-12$
d) $32$

Răspuns corect: b) $2$

Fie $f(x)=x^4+4x^3-2x^2-12x+p$. O rădăcină dublă $r$ satisface $f'(r)=0$.

$f'(x)=4x^3+12x^2-4x-12=4(x^2(x+3)-(x+3))=4(x+3)(x^2-1)=4(x+3)(x-1)(x+1)$.

Rădăcinile lui $f'$ sunt $-3,\,1,\,-1$; cele negative sunt $r=-3$ și $r=-1$.

Pentru fiecare, $p=-\big(r^4+4r^3-2r^2-12r\big)$ din $f(r)=0$.

$r=-3$: $81-108-18+36=-9\Rightarrow p=9$.

$r=-1$: $1-4-2+12=7\Rightarrow p=-7$.

Suma valorilor lui $p$: $9+(-7)=2$.

3. Valorile parametrilor reali $m,n$ pentru care polinomul $P(X)=2X^3+X^2+mX+n$ se divide cu $X^2-1$ sunt:

a) $m=-2,\; n=-1$
b) $m=-1,\; n=2$
c) $m=1,\; n=-2$
d) $m=-1,\; n=-2$

Răspuns corect: a) $m=-2,\; n=-1$

$P(1)=2+1+m+n=0\Rightarrow m+n=-3$.

$P(-1)=-2+1-m+n=0\Rightarrow n-m=1$.

Adunând cele două relații: $2n=-2\Rightarrow n=-1$, apoi $m=-3-n=-2$.

4. Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+mX+6$, unde $m<0$. Dacă $x_1^4+x_2^4+x_3^4=98$, să se calculeze $|x_1|+|x_2|+|x_3|$.

a) $6$
b) $5$
c) $4$
d) $2$
e) $0$
f) $3$

Răspuns corect: a) $6$

Din relațiile lui Viète: $e_1=x_1+x_2+x_3=0$, $e_2=m$, $e_3=-6$.

Cu formulele lui Newton: $p_1=0$, $p_2=-2e_2=-2m$, $p_3=3e_3=-18$, $p_4=-e_2p_2+e_1p_3=2m^2$.

Din $p_4=98$ obținem $m^2=49$, iar cum $m<0$, $m=-7$.

Polinomul devine $X^3-7X+6$, cu rădăcina evidentă $X=1$: $X^3-7X+6=(X-1)(X^2+X-6)=(X-1)(X+3)(X-2)$.

Rădăcinile sunt $1,-3,2$, deci $|x_1|+|x_2|+|x_3|=1+3+2=6$.

5. Calculați $(2 + i)^2 - (2 - i)^2$, unde $i$ este unitatea imaginară.

a) $0$
b) $2i$
c) $4 + 4i$
d) $4 - 4i$
e) $8i$
f) $8$

Răspuns corect: e) $8i$

$(2+i)^2 = 3 + 4i$ și $(2-i)^2 = 3 - 4i$, deci diferența este $(3 + 4i) - (3 - 4i) = 8i$.

(din capitolul Numere complexe)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)